1、两边夹定理
如果函数满足下列条件:
(1)当时,有
(2)当时,有
,那么当
,
的极限存在。
2、极限的证明
3、极限存在定理
(1)单调有界数列一定有极限
(2)单增数列有上界,则其必有极限
4、二项展开式
5、自然常数
证明:
根据两边夹定理,可以知道函数的极限存在,极限为e.、
6、导数
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx,(x0+Δx)也在该邻域内时,相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f’(x0),也记作y’│x=x0或dy/dx│x=x0,即
导数公式:
函数 | 原函数 | 导函数 |
---|---|---|
常函数 | ||
幂函数 | ||
指数函数 | ||
对数函数 | ||
正弦函数 | ||
余弦函数 |
7、泰勒-麦克劳林公式
8、泰勒公式的应用
(1)数值计算:初等函数的计算(在原点出展开)
(2)考察基尼指数的图像、熵、分类误差率三者之间的关系
9、方向导数
如果函数在点是可微分的,那么,函数在该点是沿任一方向L的方向导数都存在,且有:
10、梯度
设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点
,都可定出一个向量
,这个向量称为函数
在点
的梯度,记作
,即:
=
11、凸函数
在区间上
是连续的,如果对
上任意两点
,
,有
,则称在
上是凸的。
在区间
上连续,在
内二阶可导,那么:
若,则
是凸的;
若,则
是凹的。