【机器学习理论】第5部分 微积分基础

本文介绍了数学分析中的关键概念,包括两边夹定理、极限证明、二项展开式、自然常数e的定义及其证明过程,同时还涵盖了导数的概念及常用函数的导数公式,最后讨论了泰勒公式及其应用。

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1、两边夹定理

如果函数这里写图片描述满足下列条件:
(1)当时这里写图片描述,有这里写图片描述
(2)当时这里写图片描述,有这里写图片描述,那么当 这里写图片描述这里写图片描述 的极限存在。

2、极限的证明

3、极限存在定理

(1)单调有界数列一定有极限
(2)单增数列有上界,则其必有极限

4、二项展开式

这里写图片描述

5、自然常数

这里写图片描述
证明:
这里写图片描述
根据两边夹定理,可以知道函数这里写图片描述的极限存在,极限为e.、

6、导数

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx,(x0+Δx)也在该邻域内时,相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f’(x0),也记作y’│x=x0或dy/dx│x=x0,即
这里写图片描述
导数公式:

函数原函数导函数
常函数这里写图片描述这里写图片描述
幂函数这里写图片描述这里写图片描述
指数函数这里写图片描述这里写图片描述
对数函数这里写图片描述这里写图片描述
正弦函数这里写图片描述这里写图片描述
余弦函数这里写图片描述这里写图片描述

7、泰勒-麦克劳林公式

这里写图片描述
这里写图片描述

8、泰勒公式的应用

(1)数值计算:初等函数的计算(在原点出展开)
这里写图片描述
这里写图片描述
(2)考察基尼指数的图像、熵、分类误差率三者之间的关系
这里写图片描述

9、方向导数

如果函数在点是可微分的,那么,函数在该点是沿任一方向L的方向导数都存在,且有:
这里写图片描述

10、梯度

设函数这里写图片描述在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点这里写图片描述这里写图片描述这里写图片描述,都可定出一个向量这里写图片描述,这个向量称为函数这里写图片描述在点这里写图片描述这里写图片描述的梯度,记作这里写图片描述这里写图片描述这里写图片描述,即:
这里写图片描述这里写图片描述这里写图片描述=这里写图片描述

11、凸函数

这里写图片描述在区间上这里写图片描述是连续的,如果对这里写图片描述上任意两点这里写图片描述,这里写图片描述,有这里写图片描述,则称在这里写图片描述上是凸的。
这里写图片描述在区间这里写图片描述上连续,在这里写图片描述内二阶可导,那么:
这里写图片描述,则这里写图片描述是凸的;
这里写图片描述,则这里写图片描述是凹的。

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