学习笔记--堆排序

写这篇的目的是因为对于堆排序过时间一长就忘记 所以记录下自己学习《算法导论》时的笔记 有错误的地方希望可以指出

首先介绍堆排序 （二叉）堆是一个数组 它可以看成是一个近似的完全二叉树

我们很容易计算得到他的父节点 左孩子 右孩子节点 数组下标从1开始 下标为1的为树的根

1. parent(i) 

return [i/2];

2. left(i)

return 2*i;

3 right(i);

return 2*i +1;

二叉树有最小堆和最大堆这里我们只讨论最大堆

最大堆的性质 是 除了根节点以外的所有节点都满足 A[parent(i)] >= A[i]; 既某个节点的值最多与父节点一样大

堆排序算法其中两个步骤

1.调整堆

我们假设i节点的左右子树都是一个最大堆（先不要管为什么这样假设 读完后面就知道） 此时A[i] 可能小于 左孩子和右孩子 此时可能破坏最大堆的性质

l 为左孩子 r为右孩子 调整堆其实就是对A[i]  逐渐降级的过程

void MaxHeapify(int array[], int i, int length)
{
    int l = i << 1;             // 左孩子节点
    int r = (i << 1) + 1;       // 右孩子节点
    int largest = 0;            // 用来记录交换的是左孩子还是右孩子
    
    if (l <= length && array[l] > array[i]) {
        largest = l;
    }
    else
        largest = i;
    
    if (r <= length && array[r] > array[largest]) {  // 右孩子跟父节点和左孩子最大一个比
        largest = r;
    }
    
    if (largest != i) {         // 不相等时说明左孩子或者右孩子大于父节点此时交换
        std::swap(array[largest], array[i]);
        MaxHeapify(array, largest, length);
    }
    
}

2.建堆

从底向上的调整堆就是建堆的过程

void BuildHeap(int array[], int length)
{
    for (int i = length >> 1; i > 0; i--)     // 建立堆从第一个不为叶子节点（完全二叉树第一个不为叶节点 == 节点树 / 2） 从下往上建立堆
    {
        MaxHeapify(array, i, length);
    }
}

以下为建堆的过程

3.堆排序算法

     堆排序算法就是建堆和调整堆的过程 调整堆时间复杂度是 logN 而堆排序要调整N次所以 堆排序的时间复杂度为 N*logN

void HeapSort(int array[], int length)
{
    BuildHeap(array, length);
    
    int size = length;
    
    for (int i = length; i > 1; i--) {       // 每次和最后一个元素交换 然后长度- 1 调整堆
        std::swap(array[1], array[size--]);
        MaxHeapify(array, 1, size);
        
    }
    
}

以下是堆排序的过程 调整堆后 A【1】为最大的值 与 数组最后一个元素交换 然后把数组长度 -1 继续把 length -1 个元素调整为一个堆 直到length = 1结束