动态规划入门之最长公共子序列（LCS）

最新推荐文章于 2021-02-15 22:07:01 发布

有点傻的余

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分类专栏：动态规划文章标签： LCS 最长公共子序列动态规划算法 JAVA

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/kerryfish/article/details/25649589

本文介绍了动态规划在解决最长公共子序列（LCS）问题中的应用，通过状态转移方程d[i][j]来确定两个序列的LCS长度。文章以{2,4,3,1,2,1}和{1,2,3,2,4,1,2}为例，说明如何避免暴力求解，并提供了JAVA代码实现，详细阐述了路径回溯的方法以获取LCS。" 131211215,15181243,JMeter分布式性能测试实战：环境搭建与监控解析,"['性能测试', 'JMeter', '分布式压测', '软件测试', '服务器监控']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LCS是动态规划在字符串问题中应用的典型。问题描述：给定2个序列，求这两个序列的最长公共子序列，不要求子序列连续。例如{2,4,3,1,2,1}和{1,2,3,2,4,1,2}的结果是{2,3,2,1}或者{2,4,1,2}。

思路：如果不用动态规划去做，而用暴力法，则必须找出其中一个序列的所有子序列（LIS如果用暴力法思路也是如此），然后判断这个子序列是不是另外一个序列的子序列。判断一个序列是不是另一个序列的子序列可以在O(n)内解决（只需要两个指针，然后依次比较并移动），但是怎么去找一个序列的所有子序列呢，就是就这个集合的所有子集，这是指数级别的复杂度。如果用动态规划去做呢？我们可以用d[i][j]表示序列a[0~i]和序列b[0~j]的最长公共子序列的长度，这是状态；那么状态转移方程：

d[i][j]=d[i-1][j-1]+1 if a[i]=b[j]; and d[i][j]=max{d[i][j-1],d[i-1][j]} if a[i] != b[j]。也就是说，如果i和j上的元素相等，那么d[i-1][j-1]+1就是d[i][j]，否则，就要看d[i-1][j]和d[i][j-1]谁大了。在这里面，状态用一个二维数组表示，也就是一个矩阵。我这里引用别人的一张图帮助理解：

上图中序列分别为{B,D,C,A,B,A}和{A,B,C,B,D,A,B}。里面包含了所有的状态。从上图可以知道，每个状态都可以从它的左上、左、或者上方走过来。具体的条件就是上面说的a[i]是否和b[j]相等。我们如果要求出最终的最长公共子序列，就需要得到上面的状态图，然后从图的右下角，根据路径回溯到左上角就行了。