18、空间向量与几何知识解析

空间向量与几何知识解析

1. 三维坐标系基础

1.1 坐标点的移动与确定

从原点((0, 0, 0))出发，沿正(x)轴移动(4)个单位，到达点((4, 0, 0))，再沿负(z)轴移动(3)个单位，最终到达点((4, 0, -3))。这展示了在三维坐标系中，通过不同坐标轴方向的移动来确定点的位置。

1.2 点到坐标平面的距离

点到(yz)平面的距离是该点(x)坐标的绝对值。例如，点(F(2, 4, 6))的(x)坐标绝对值最小，所以(F)是最接近(yz)平面的点；点(D(-4, 0, -1))的(y)坐标为(0)，则(D)位于(xz)平面。

1.3 点的投影与距离计算

点((2, 3, 5))在(xy)平面的投影是((2, 3, 0))，在(yz)平面的投影是((0, 3, 5))，在(xz)平面的投影是((2, 0, 5))。该点与原点构成的长方体对角线长度，可根据距离公式(\sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (5 - 0)^2}=\sqrt{38}\approx6.16)计算得出。

1.4 方程与平面的关系

• 方程(x + y = 2)表示在(R^3)中，(x)和(y)坐标之和为(2)的所有点的集合，即({(x, 2 - x, z) | x \in R, z \in R})，这是一个垂直平面，与(xy)平面相交于直线(y = 2 - x, z = 0)。
• 在(R^2)中，方程(x = 4)表示平行于(y)轴的直线；在(R^3)中，它表示所有(x)坐标为(4)的点的集合，即平行于(yz)平面且在其前方(