量子计算自学记录

一、量子计算入门：像画箭头一样理解“量子比特”

想象一下你在纸上画一个箭头。

这个箭头有长度，有方向。在数学里，这叫做 “向量”。你可以把两个箭头加起来，得到一个新的箭头，这叫做 “叠加”。

那么，量子计算和这个箭头有什么关系呢？

在神奇的量子世界里，一个最基础的单位（比如一个粒子）的状态，就可以被看作是这样一根“箭头”。科学家们给这种状态起了个酷酷的名字，叫 “态矢量”，也叫量子态（State Vector）。

关键点来了：

• 我们电脑里最小的单位是“比特”，只能是 0​ 或 1，就像一个开关，只有“开”和“关”两种静止的状态。（相当于箭头只能指向一个方向）

• 而量子计算机最小的单位是 “量子比特”。最神奇的是，一个量子比特可以同时是0的状态、1的状态、或者是它们俩的任意组合（叠加）状态！

这就像你画的那个箭头，它可以指向0的方向，也可以指向1的方向，更可以指向0和1之间的任何一个方向。

这就像你画的那个箭头，它不是静止的。它可以旋转，可以指向0的方向，也可以指向1的方向，更可以飞快地扫过0和1之间的所有方向。

这种“动态”的、可以“旋转”的能力（也就是叠加），就是量子计算机如此强大的核心秘密！​ 它能让计算机同时进行海量的计算，就像一个有无数个指针的钟表在同时转动。

总结一下：

这篇教程用我们熟悉的“画箭头”来打比方，告诉我们：

1. 量子比特是量子计算的基石。

2. 量子比特的状态像一个可以旋转的箭头。

3. 它的魔力在于可以处于叠加状态（既是0又是1），这让量子计算机拥有了传统计算机无法比拟的潜力。
    

二、量子态和希尔伯特空间

量子态：量子世界的“状态快照”

你可以把量子态想象成「量子世界里某个东西（比如电子、光子）在某一时刻的“全部信息快照”」。

• 在经典世界里，描述一个东西的状态很简单：比如小球的位置、速度；硬币是正面还是反面。但到了微观的量子世界（比如电子），它有很多“神奇”的特性，不能只用“位置”“速度”这类经典量完全描述。量子态要包含这个微观粒子所有可能的信息，比如它有多大概率出现在A位置、多大概率出现在B位置，它的自旋是向上还是向下，等等。

• 更形象地说，量子态就像一个“装满信息的容器”。如果把量子系统比作一个游戏角色，量子态就是这个角色的“属性面板”——上面写了它能做什么、有多大几率做这些事。而且量子态还分“纯态”（信息很确定的状态）和“混态”（信息有点模糊、不确定的状态），有点像你玩游戏时“明确选了某个职业” vs “职业还没完全确定、有点混合”的感觉。

希尔伯特空间：量子态的“大仓库+运算舞台”

希尔伯特空间可以理解成「专门给量子态准备的“超级大仓库 + 运算操场”」。

1. 仓库：装下所有可能的量子态​

   量子系统有多少种可能的状态，希尔伯特空间就有多少个“维度”来容纳它们。打个比方：如果一个量子系统只有两种可能状态（比如电子自旋“上”或“下”），那希尔伯特空间就像一个二维的平面，每个点代表一种自旋状态的组合；如果系统更复杂，有N种可能状态，希尔伯特空间就会有N个维度（当然现实中维度可能是无穷的，但先这么类比）。

2. 运算操场：量子态之间怎么变化、怎么相互作用​

   希尔伯特空间不光是存量子态，还能让量子态在里面“做运算”。量子力学里有很多操作（比如测量、幺正演化），这些操作都可以看成在希尔伯特空间里“移动”量子态——从一个点变到另一个点。你可以把它想成：量子态是操场上的运动员，希尔伯特空间是操场本身；运动员在操场上跑来跑去（对应量子态的变化），而操场的规则（比如长度、角度怎么算）决定了运动员能怎么跑。

3. 为什么要叫“希尔伯特”？​

   数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）研究过这种“无穷维、能做内积运算（用来计算概率等）”的抽象空间，后来物理学家发现，量子态特别适合放在这样的空间里描述，所以就借用这个名字，叫“希尔伯特空间”啦～

4.  

5. 用布洛赫球可以可视化量子比特

   为了更直观地理解，科学家发明了布洛赫球——一个用来表示量子比特状态的球体。

       •    球的北极代表|0⟩状态（相当于经典比特的0）

       •    球的南极代表|1⟩状态（相当于经典比特的1）

       •    球面上的任何一点都代表一个量子叠加状态

   这意味着量子比特可以指向球面上的任意位置，而不仅仅是上下两个极点。

   举个例子：

   当量子比特指向球的赤道时，它处于最均衡的叠加态：测量时有50%概率得到0，50%概率得到1。

    

 

1. 布洛赫球，可以非常有效地表示一个量子比特（qubit）所处的纯态在二维希尔伯特空间中的状态。纯态，就是指量子系统处于一个确定的、单一的量子态，这个态可以用一个复向量空间中的单位向量（归一化的态矢量）来精确描述。纯态是量子系统可能处于的最“纯粹”、最确定的状态，没有任何经典意义上的随机混合。
   

画布洛赫球的代码:

from qutip import Qobj, basis, Bloch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import argparse
import time


def make_bloch():
	b = Bloch()

	state_0 = Qobj([[1], [0]])
	state_1 = Qobj([[0], [1]])
	state_plus = Qobj([[1], [1]]) / np.sqrt(2)
	state_minus = Qobj([[1], [-1]]) / np.sqrt(2)
	state_i = Qobj([[1], [1j]]) / np.sqrt(2)
	state_minus_i = Qobj([[1], [-1j]]) / np.sqrt(2)
	b.add_states([state_0, state_1, state_plus, state_minus, state_i, state_minus_i])
	return b


def show_bloch(bloch_obj, timeout: float | None = None):
	"""Display the Bloch sphere.

	If timeout is None (default) the function will wait for manual close: it
	will call the blocking show when available, or keep the process alive so
	you can close the window manually. If timeout is a number (seconds), the
	plot will be shown and automatically closed after that delay.
	"""
	try:
		# Try the simple call first. In many setups this blocks until the
		# window is closed by the user (desired manual mode).
		bloch_obj.show()
	except Exception:
		# If Bloch.show() raises or returns immediately, continue; we'll
		# control matplotlib directly below.
		pass

	if timeout is None:
		# Keep the process alive so the GUI window stays open until user closes it.
		# If bloch_obj.show() already blocked and the window was closed, this
		# input won't be reached which is fine. Otherwise this prevents the
		# script from exiting and letting you close the window manually.
		try:
			print("Plot displayed. Close the plot window to exit, or press Enter here to exit now.")
			input()
		except KeyboardInterrupt:
			# allow Ctrl-C to exit
			pass
	else:
		# Non-blocking show and auto-close after timeout seconds.
		try:
			plt.show(block=False)
		except TypeError:
			# Older matplotlib versions may not accept block kwarg; try a non-blocking approach
			plt.ion()
			plt.show()
		# Use pause so the GUI event loop runs and window remains responsive
		plt.pause(timeout)
		# Close all figure windows
		plt.close('all')


if __name__ == "__main__":
	parser = argparse.ArgumentParser(description="Display a sample Bloch sphere.")
	parser.add_argument("--timeout", "-t", type=float, default=None,
						help="Auto-close the plot after this many seconds. If omitted, wait for manual close.")
	args = parser.parse_args()

	b = make_bloch()
	show_bloch(b, timeout=args.timeout)

总结一下

• 量子态：微观粒子在某一时刻的“全部信息包”，包含它所有可能的行为概率。

• 希尔伯特空间：专门给量子态住的“大仓库”，同时也是量子态“变化、互动”的“运算舞台”——量子力学里的各种操作，本质上都是在这个空间里对量子态做“移动/变换”。

可以把量子态想象成手机里的“APP数据包”，希尔伯特空间就是手机内存+运行程序的“系统环境”——APP（量子态）要在系统（希尔伯特空间）里才能运行、变化～

三、机器学习中经典的核函数

一、现实问题：数据太复杂，分不开

想象你在纸上画两个颜色的点，理想情况下，用一条直线就能把两种颜色的点分开 —— 这就是线性可分。

但现实往往不是这样，比如：

• 红点在中间，蓝点围了一圈；

• 或者数据像“螺旋”一样交错。

这时候，直线分不开，必须画曲线，甚至很复杂的边界。

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二、解决思路：把数据“变个空间”

既然在平面上分不开，那我们就把数据“升维”，比如：

把二维的数据“投射”到三维空间里，可能一下子就变得“线性可分”了。

举个例子：

• 在平面上，红点和蓝点交错；

• 但我们给每个点加一个“高度”，比如离中心越远越高；

• 结果在三维空间里，红点可能都在“上层”，蓝点在“下层”，

• 这时候，用一个平面就能分开！

这个“变空间”的过程，叫做：

特征映射（feature mapping）
把原来的数据 x 变成更高维的 ϕ(x)

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三、新问题：计算太贵，怎么办？

虽然升维有用，但直接算这个高维空间里的数据，太慢、太耗内存，甚至维度可能是无限维的！

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四、聪明办法：用“核函数”偷懒

我们发现：很多算法（比如SVM）其实不需要知道具体的高维数据，
它们只需要知道：

两个点在高维空间里“有多像” —— 也就是它们的内积。

于是，我们发明了一个“魔法函数”：

核函数 k(xi​,xj​)

它不直接算高维数据，但能直接告诉你这两个点在高维空间里有多像。

这就是著名的：

✅ 核技巧（kernel trick）

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五、总结一句话

现实数据太复杂，分不开？
→ 我们就把它“升维”到更高维空间，让它变得能分开。
→ 但升维计算太贵？
→ 就用“核函数”偷懒，不算高维数据，却能得到高维效果。

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举个生活例子

想象你在看一张皱巴巴的纸，上面红蓝点混在一起，直线分不开。

你把纸揉成一个球，红点和蓝点就在球的不同“层”上了，
这时候，用一个平面就能分开！

但你不需要真的去揉纸，你只要知道：

“这两个点，如果揉成团后，会在球的同一边吗？”

核函数就是那个告诉你答案的“魔法”，而不用你真的去揉纸。

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✅ 总结口诀

数据太乱分不开？
升维映射把它拆！
计算太贵怎么办？
核函数来偷个懒！

举例：

超简单例子 二维到三维的多项式核

• 取二维向量 x = (x1, x2)，定义映射：

  ϕ(x) = (x1², √2 x1x2, x2²)。

• 两个样本的内积为：

  ⟨ϕ(x), ϕ(z)⟩ = x1² z1² + 2 x1 x2 z1 z2 + x2² z2² = (x1 z1 + x2 z2)² = (x·z)²。

• 于是我们可以直接定义核函数：k(x, z) = (x·z)²。

• 这意味着：不需要真的去算三维的 ϕ(x)，只需在原空间做一个数乘再平方，就得到了高维空间的内积。这个 k(x, z)​ 就是多项式核在 d=2​ 时的特例。

这里就是用k(x, z) = (x·z)²这个函数替代了两个样本的内积的计算⟨ϕ(x), ϕ(z)⟩， 不用再去计算ϕ(x)和 ϕ(z)再做内积了，直接算(x·z)²就是ϕ(x)和 ϕ(z)的内积。