（纪中）2417. Loan Repayment【数学】

(File IO): input:loan.in output:loan.out
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题目描述
$FarmerJohn$ 欠了 $BessieN$ 加仑牛奶$（1\le N\le 10^{1}2）$。他必须在 $K$ 天内将牛奶给 $Bessie$。但是，他不想将牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在还债上有所进展，所以他必须每天给 $Bessie$ 至少 $M$ 加仑牛奶$（1\le M\le 10^{1}2）$。
以下是 $FarmerJohn$ 决定偿还 $Bessie$ 的方式。首先他选择一个正整数 $X$。然后他每天都重复以下过程：
（1）假设 $FarmerJohn$ 已经给了 $BessieG$ 加仑，计算 $(N-G）/X$ 向下取整。令这个数为 $Y$。
（2）如果 $Y$ 小于 $M$，令 $Y$ 等于 $M$。
（3）给 $BessieY$ 加仑牛奶。
求 $X$ 的最大值，使得 $FarmerJohn$ 按照上述过程能够在 $K$ 天后给 $Bessie$ 至少 $N$ 加仑牛奶 $（1\le K\le 10^{1}2）$。

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输入
输入仅有一行，包含三个空格分隔的正整数 $N、K$ 和 $M$，满足 $K\cdot M<N$。
注意这个问题涉及到的整数规模需要使用 $64$ 位整数类型（例如，$C/C++中的“longlong”）$。

输出
输出最大的正整数 $X$，使得按照上述过程 $FarmerJohn$ 会给 $Bessie$ 至少 $N$ 加仑牛奶。

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样例输入
10 3 3

样例输出
2

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数据范围限制
测试点 $1-3$ 满足 $K\le 10^5$。
测试点 $4-10$ 没有额外限制。

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提示
在这个测试用例中，当 $X=2$ 时 $FarmerJohn$ 第一天给$Bessie5$ 加仑，后两天每天给 $BessieM=3$ 加仑。

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解题思路
首先一定是二分$x$，不必多说但是如果真的一天天扫过去，每次$check()$是$O(k)$的，明显超时，所以在$check()$时会使用类似除法分块的方法。假设现在剩下了$r$的欠债，还剩t天
循环退出条件：$r⩽0\mid \mid t==0$，这时直接通过$r⩽0$的成立与否判断x的成立与否。。
那么$y=\lfloor r/x\rfloor$如果$y<=m$，那么直接就以$m$为每天的还债量，于是$r-=tm,t=0$。
否则就计算一下会有连续多少天的每日还债量是$y$，假设这种情况持续$a$天，那么可以知道在$a-1$天之后的还债量$=y$，而$a$天之后的还债量$<y$。

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代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n,k,m,l,r,mid;
bool check(long long x)
{
    long long kk=k,nn=n;
    while(1)
    {
        long long y,yy;
        y=nn/x;
        if(y<m)
            return m*kk>=nn;
        yy=nn/y-x+1;
        if(yy>kk)
            yy=kk;
        nn-=yy*y;
        kk-=yy;
        if(nn<=0)return 1;
        if(kk==0)return 0;
    }
}
int main(){
	freopen("loan.in","r",stdin);
	freopen("loan.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&m);
    l=1,r=n;
    while(l<r)
    {
        mid=(l+r+1)/2;
        if(check(mid))
            l=mid;
        else
            r=mid-1;
    }    
    printf("%lld",l);
}