Kegi_的博客

根节点的值必须大于左子树上所有节点的值，且小于右子树上所有节点的值（或者在某些定义中，左子树的所有值小于根节点，右子树的所有值大于根节点，没有等于的情况）。- **证明和推理**：递归定义简化了对BST性质的证明和推理，因为可以从基本情况开始，逐步扩展到更复杂的情况。BST的定义是递归的，因为它将BST定义为由更小的BST组成的结构，这些更小的BST遵循与整个树相同的规则。- **结构嵌套**：BST的结构可以无限嵌套，每个节点可以被视为一个更小的BST的根。

例如，镜像对称、旋转对称等。- **二维数组的螺旋打印**：可以从左上角开始，按照螺旋顺序迭代打印，利用矩阵的对称性减少边界条件的处理。- **图的遍历**：在无向图中，从任一顶点开始深度优先搜索或广度优先搜索，利用图的对称性避免重复访问。- **双向迭代**：如果问题具有对称性，可以定义两个迭代方向，分别从对称的两端开始迭代。- **状态定义**：在迭代过程中，定义和维护状态信息，利用对称性减少需要存储的状态数量。- **状态转换**：利用对称性简化状态转换逻辑，因为对称的状态下可能具有相同的转换规则。

在二叉树中，节点 𝑣 的深度（depth）是指从根节点到节点 𝑣 的路径长度，而节点 𝑣 的高度（height）是指从节点 𝑣 到叶子节点（最远的叶子节点）的最长路径长度。例如，深度较小的节点可能是树的上层节点，而高度较大的节点可能位于树的下层。树的动态调整：在需要动态调整树结构的场景中，如在数据库索引或文件系统组织中，利用节点的深度和高度信息可以优化树的分裂和合并操作。树的遍历：在树的遍历算法中，了解节点的深度和高度可以帮助设计遍历策略，例如，根据节点的深度来决定访问顺序。

代码阅读是一个需要耐心和细致的工作，但随着经验的积累，这个过程将变得更加高效和直观。- 识别代码中的控制结构，如 `if` 语句、`switch` 语句、`for` 和 `while` 循环。阅读和理解代码是一个系统性的过程，需要分析代码的结构、逻辑和实现的细节。- 与他人讨论代码，进行代码审查，以获得不同的观点和深入的理解。- 在开始深入阅读代码之前，了解代码的用途、预期功能和运行环境。- 观察代码的布局和组织结构，良好的代码组织可以提高可读性。- 分析代码的性能，确定是否有瓶颈或可以优化的地方。

这段代码的 `rand` 函数返回的是 `int` 类型，但是实际上它返回的是 `unsigned int` 类型的结果，这是因为结果值需要在0到32767之间。- 将 `next` 除以 `65536`（`2^16`），这实际上是对 `next` 进行了右移16位操作，获取了 `next` 的高16位。- 模数 `65536` 被用来丢弃 `next` 的低16位，而模数 `32768` 确保结果不会超出期望的范围。- 通过将 `next` 设置为 `seed`，可以改变随机数生成器的序列起始点。

**后缀-前缀重叠**：目标数组的某一部分在内存的后面部分与来源数组的前面部分重叠。- **前缀-后缀重叠**：目标数组的某一部分在内存的前面部分与来源数组的后面部分重叠。在编程中，数组的复制通常假定目标数组和来源数组在内存中是独立的，即它们没有重叠。1. **独立性**：理想情况下，目标数组和来源数组在内存中是独立的，复制操作可以直接进行。- **目标数组**：这是我们想要存储数据的数组，即复制操作的目的位置。- **来源数组**：这是包含要复制数据的数组，即复制操作的起始位置。

掌握良好的封底估算技能，即能够快速而准确地估计完成某项任务所需的时间或资源，对于项目管理和日常任务规划都非常重要。通过这些步骤和技巧的实践和不断改进，你可以逐渐提高你的封底估算技能，从而更好地管理时间和资源，提高工作和生活的效率。- 学习并应用不同的估算技术，如类比估算、参数估算、三点估算（最乐观、最可能、最悲观估计的平均值）等。- 记录你的估算过程和实际结果，项目结束后进行复盘，分析估算的准确性和需要改进的地方。- 咨询有经验的团队成员或行业专家，他们的经验和知识可以帮助你做出更准确的估算。

在最坏的情况下，如果n 是一个质数或者n的素因子都是接近 n 的大质数，那么算法需要尝试从2到 n-1 的所有数，时间复杂度接近O(n)。- 如果n能够被这个数整除，说明这个数是 n 的一个素因子，将其添加到素因子列表中，并将n更新为除法的结果。- 在一般情况下，如果 n有较小的素因子，算法将更快地找到它们，并且 n 将被分解得更小，减少后续的尝试次数。蛮力算法提供了一种直观的方式来理解素因子分解的过程，但在实际应用中，通常会使用更高效的算法来处理大整数的分解。

**排序算法的下界**：排序算法的下界是指在比较排序模型下，任何排序算法至少需要执行的比较次数的最低界限。- **时间复杂度的组成部分**：排序算法的时间复杂度通常包括比较、移动和输出的时间。在最坏的情况下，所有元素的初始位置都是错误的，即没有任何一个元素处于其最终排序后的位置上。- **比较和移动操作**：在排序算法中，比较操作用于确定元素间的相对顺序，而移动操作用于将元素放置到正确的位置上。- **最坏情况分析**：在算法分析中，通常考虑最坏情况，即所有输入可能导致最多比较和移动操作的情况。

例如，如果一个算法只是对给定的输入数组进行原地操作（不创建新的大型数据结构，只使用固定数量的额外变量），其空间复杂度通常为 O(1)。2. 考察临时变量和数据结构的使用：查看算法中是否创建了新的变量、数组、链表、栈、队列、树等数据结构来辅助计算。如果创建了，这些通常都会占用额外的空间。总之，准确判断算法的附加空间需求需要对算法的细节有清晰的理解，并结合对数据结构和内存使用的分析来确定空间复杂度。1. 理解算法的工作原理：首先，需要深入理解算法的步骤和操作流程，明确在算法执行过程中对数据的处理方式。

**内存效率**：位图使用单个位来表示元素的存在或不存在，因此对于大型数据集，位图可以非常节省内存。- **快速操作**：位图支持快速的查找、插入和删除操作，因为这些操作可以简化为位操作。2. **图形和图像处理**：位图用于表示图像的像素，每个像素用一个或多个位来表示颜色。3. **数据压缩**：位图可以用于表示数据的压缩信息，如霍夫曼编码树的节点存在性。4. **集合操作**：位图可以用于实现集合的并集、交集和差集等操作。1. **内存映射**：操作系统使用位图来跟踪内存页的使用情况。

当使用逻辑AND运算符时，如果第一个操作数为`false`，那么无论第二个操作数是什么值，整个表达式的结果都将是`false`。在这个例子中，由于`a`已经是`false`，根据短路求值，`b`不会被求值，即使它是一个昂贵的操作。这样可以节省计算资源。对于其他运算符，如位运算AND（`&`）和OR（`|`），通常不采用短路求值。- 如果`A`为`false`，则整个表达式的结果为`false`，`B`不会被求值。- 如果`A`为`true`，则整个表达式的结果为`true`，`B`不会被求值。

如果将`if`语句中的比较操作符从`>`（大于）改为`>=`（大于等于），这将改变算法的行为和结果。总之，将`>`改为`>=`会在算法的逻辑和结果上产生影响，特别是在处理相等元素时。在设计排序算法时，应仔细考虑比较操作符的选择，以确保算法的正确性和性能。- 在某些情况下，使用`>=`可能会减少交换的次数，但这通常不会对算法的整体性能产生显著影响，因为排序算法的性能主要由比较次数决定。这种修改可能会导致选择排序算法在选择最小元素时，选择到一个与已找到的最小元素相等的元素，而不是严格意义上的最小元素。

2. **平均情况**：在平均情况下，如果数据分布非常均匀，那么插值查找的效率通常比二分查找要高。2. **预测位置**：给定要查找的元素`key`，插值查找首先计算一个预测位置，该位置基于`key`与数组中最小元素和最大元素的比较结果。3. **最坏情况**：在最坏情况下，如果数据分布非常不均匀，或者`key`总是位于数组的边界，那么插值查找可能退化为顺序查找，时间复杂度为O(n)。1. **最佳情况**：在最佳情况下，如果预测位置总是准确的，即`key`正好位于预测位置，那么只需要一次比较。

如果这里的“字长”指的是每次迭代考虑的数据量，那么二分查找每次迭代减少的数据量是数组长度的一半，这与顺序查找逐个元素检查的方法不同。二分查找和插值查找都是高效的查找方法，但它们适用于不同的场景。二分查找算法每次比较后，都会将查找区间减半，这意味着查找区间的有效长度（即需要考虑的元素数量）每次迭代都会减少到原来的一半。然而，如果我们将“字长”理解为数组中元素的位数或数据类型的大小，那么插值查找可以看作是在每个字长上进行折半查找，即每次迭代都基于元素的值来预测其可能的位置，而不是简单地取中间位置。

1. **定义**：关键码的比较次数是指在搜索过程中，为了确定目标元素的位置，需要进行的比较操作的总数。4. **最坏情况**：在最坏的情况下，比较次数可能达到最大值，例如在有序数组的顺序查找中，最大比较次数为n（数组长度）。3. **期望值**：在概率论的背景下，ASL可以被视为比较次数的期望值，即在大量随机查找中，平均每次查找所需的比较次数。- **关键码比较次数是ASL的基础**：ASL是基于关键码比较次数计算得出的，没有具体的比较次数，就无法得出ASL。关键码比较次数与ASL的关系。

10. **适应不同的编程范式**：不同的编程范式（如面向对象、函数式编程等）有不同的语义约定，明确这些约定有助于开发者更好地应用特定的编程范式。9. **促进代码审查**：在代码审查过程中，细致的语义约定使得审查者可以集中关注代码的逻辑和结构，而不是纠结于命名和格式。6. **改善代码的自文档化**：良好的语义约定可以使得代码本身具有自文档化的特点，即通过阅读代码就能理解其功能和用途。5. **增强代码的可重用性**：当函数、类和变量的命名和行为遵循一致的语义约定时，它们更容易在不同的地方被重用。

而“懒惰的高效算法”通过使用Two-Pointer Technique，避免了在数组中间进行修改，使得算法更加高效和简洁。- 只有当`j`指向的元素与`i`指向的元素不同时，才将元素复制到`i`的下一个位置，然后`i`和`j`都递增。- 这种方法不需要在数组中间进行删除操作，因此不需要调整其他元素的索引，算法逻辑更简单，执行效率更高。- 使用两个指针`i`和`j`：`i`指向已确认无重复元素的数组末尾，`j`用于遍历数组。- 最后，通过`shrink()`方法调整数组的容量，以释放不再使用的内存空间。

7. **可扩展性与可测试性**：没有过多的封装可以使得对象更容易扩展和测试，因为开发者可以更容易地访问和修改对象的状态。1. **适度的封装**：指的是封装的程度恰到好处，既保护了对象的内部状态，又没有过度限制外部代码对对象的合理使用。3. **模块化**：封装促进了代码的模块化，每个对象都是一个独立的模块，可以独立于系统的其他部分进行开发和测试。1. **数据隐藏**：通过隐藏内部实现，封装保护了对象的完整性，防止外部代码直接访问和修改对象的内部状态。

两种不同的模板类`Vector<T>`的成员函数`traverse`的实现，它们都用于遍历`Vector`容器中的元素并应用一个给定的操作。1. **模板类内的模板函数**：这里的`template <typename VST>`表示`traverse`是一个模板函数，它可以接受任意类型的函数对象`VST`。2. **函数指针作为参数**：`void ( * visit )( T & )`定义了一个函数指针`visit`，它指向一个接受类型为`T`的引用参数的函数。

5. **查找失败的情况**：如果目标元素不存在于数据结构中，顺序查找将遍历整个数据结构，这在最坏的情况下会导致时间复杂度为O(n)，其中n是数据结构中元素的数量。2. **目标元素的位置**：如果目标元素位于数据结构的开始位置，查找操作将很快完成。4. **重复元素**：如果数据结构中存在重复元素，顺序查找可能需要检查所有相同元素的实例，直到确定目标元素不在数据结构中。- **平均情况**：假设目标元素在数据结构中均匀分布，平均需要检查n/2个元素，时间复杂度是O(n)。元素越多，查找所需的时间就越长。

这些操作的直接成本可能超过O(1)，但是通过分摊分析，我们可以证明这些操作的平均成本或者分摊成本是较低的。但是，如果我们将这些成本分摊到所有插入操作中，每次插入操作的分摊成本可能接近O(log n)，而不是每次操作的直接成本O(n)。1. **单个操作成本**：某个特定操作的直接成本，例如在链表中删除一个节点的直接成本是O(1)，但在某些数据结构中插入或删除可能涉及到更复杂的操作。2. **成本的累积**：尽管单个操作的成本可能很高，但是当我们考虑一系列操作时，这些高成本可以被累积并分摊到多个操作上。

**`shrink_to_fit()`**：减少`vector`的容量以适应当前元素数量，释放未使用的内存。- **`front()`** 和 **`back()`**：访问`vector`的第一个和最后一个元素。- **`begin()`** 和 **`end()`**：返回指向`vector`开始和结束的迭代器。- **`capacity()`**：返回`vector`当前分配的内存可以容纳的元素数量。- **`resize()`**：调整`vector`的大小，可以增加或减少元素。

1. **定义**：ADT是一种逻辑上的描述，它定义了一组数据的集合以及对这个数据集合的操作。3. **例子**：栈（Stack）、队列（Queue）、图（Graph）等都是ADT的例子，它们定义了数据的逻辑结构和操作，但并不指定具体的实现。3. **例子**：数组实现的栈、链表实现的队列、邻接表或邻接矩阵实现的图等，这些都是数据结构的具体实现。2. **关注点**：ADT关注数据的逻辑特性和操作，数据结构关注数据的存储和操作的效率。3. **实现**：ADT不包含实现细节，数据结构是ADT的具体实现。

4. **例子**：在字符串 "abcdef" 中，"ace" 是一个有效的子序列，因为这些字符在原字符串中保持了原有的顺序，尽管它们之间有其他字符。4. **例子**：在字符串 "abcdef" 中，"bcd" 是一个有效的子串，因为它是连续的字符序列。- **灵活性**：子序列比子串更灵活，因为它允许在保持元素顺序的前提下，跳过一些元素。3. **长度**：子序列的长度也可以是任意的，从0（空序列）到整个序列的长度。- **位置**：子串在原字符串中有固定的位置，子序列则没有这个限制。

而外部节点（也称为虚拟节点或哨兵节点）是左式堆中一个特殊的概念，它们不包含关键码信息，但携带了拓展信息，如 npl（null path length）。节点 C 是一个外部节点，它不包含关键码，但有一个 npl 值（-1），表示它是一个外部节点。它们通常用于表示空（或外部）的子节点，即当一个节点没有左子节点或右子节点时，该位置会被一个外部节点占据。- **节点**是左式堆的基本组成单位，每个节点可以包含关键码、指向其子节点的指针、以及可能的额外信息（如 npl）。- 节点可以是内部节点，也可以是外部节点。

考虑两个左式堆 A 和 B，其中 A 的根节点的 npl 值为 2，B 的根节点的 npl 值为 1。如果要合并这两个堆，根据左式堆的性质，我们会将 B 作为 A 的右子节点（因为 B 的 npl 值较小），然后更新 A 的 npl 值为 3（原 npl 值 2 加上与右子节点的边）。左式堆利用 npl 值来保持一个重要的性质：对于堆中的任意节点，其左子节点的 npl 值总是大于或等于其右子节点的 npl 值。特别是在合并操作中，需要更新合并后节点的 npl 值，以确保左式堆的性质不被破坏。

**排序时间**：堆排序的总时间复杂度是 (O(n log n))，这是因为每次删除操作后都需要进行一次下沉操作，而下沉操作的时间复杂度是 (O(log n))。- **构建堆的时间复杂度**：构建一个最大堆或最小堆的时间复杂度是 (O(n))，这是通过一个称为“堆化”（heapify）的过程实现的，它从最后一个非叶子节点开始，向上进行下沉操作。- **构建时间**：锦标赛树的构建时间复杂度是 (O(n))，而堆排序构建堆的时间复杂度也是 (O(n))。在这一点上，两者是相同的。

最大堆性质：对于堆中的任意节点，其值都大于或等于其子节点的值。最小堆性质：对于堆中的任意节点，其值都小于或等于其子节点的值。交替层性质：从根节点开始，奇数层的节点满足最大堆性质，偶数层的节点满足最小堆性质。

DFS更适合于目标深度较大的情况和需要回溯的问题，而BFS更适合于寻找最短路径和按层次遍历的问题。当节点v的所有未访问的邻接点都被探索后，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。DFS和BFS：两者的时间复杂度都是O(V+E)，其中V是顶点数，E是边数。它使用一个队列来记录在当前层中所有未被访问的节点，然后逐个访问这些节点，并将其未被访问的邻接点加入队列中。DFS：在最坏的情况下，空间复杂度可以是O(V)，这是因为在递归过程中可能需要存储所有顶点的栈空间。适用于解决需要回溯的问题，如八皇后问题、数独等。

然而，当数据项非常大时，这种方法会浪费大量的存储空间，因为每个节点都需要存储完整的数据项。在改进的B-树中，只有叶子节点存储完整的数据记录，而非叶子节点仅存储用于索引的键值。由于关键值通常比完整的数据记录小得多，这种方法可以减少每个节点的存储需求，从而允许每个节点存储更多的关键值，进一步减少树的高度。由于改进的B-树减少了树的高度并且优化了节点的存储，它可以减少查找操作所需的磁盘存取次数。当处理的数据项是很大的记录时，使用改进的B-树可以带来显著的优势。3. **叶子节点的链表结构**

另一个例子是哈希表数据结构中的桶。这种情况下，该数据结构内部的元素实际上只是指向其他对象的指针，而不是实际存储数据的内存空间。因此，当这种数据结构被传递或操作时，外部更多关注的往往是其所指对象的大小，而不是指针本身的大小。当需要操作链表时，我们通常关心的是链表中存储的数据，而不是每个节点的指针大小。因此，内部元素的指针大小并不是我们最关注的问题，而是所指对象的大小。在这种情况下，外部更多关注的则往往是其所指对象的大小，而不是内部元素的指针大小，因为所指对象的大小直接关系到数据结构的性能和效率。

宏定义是C ++中的一种预处理指令，用于在编译阶段之前对代码进行简单的替换。通过宏定义，可以将一个标识符定义为一个常量、一个表达式或者一段代码，方便在代码中多次使用。宏定义一般放在源代码的开头，可以定义在全局作用域或者局部作用域中。替换内容可以是任何有效的C ++表达式，包括整型、浮点型、字符型、字符串和代码块等。因此，在使用宏定义时，需要在简化代码和代码可读性之间做出权衡，并且要遵循一些编码规范和最佳实践，以确保代码的正确性和可维护性。在C ++中，可以使用。

这用栈结构正好合适，只要碰到左括号，就将此左括号进栈，不管表达式有多少重括号，反正遇到左括号就进栈，而后面出现右括号时，就让栈顶的左括号出栈，期间让数字运算，这样，最终有括号的表达式从左到右巡查一遍，栈应该是由空到有元素，最终再因全部匹配成功后成为空栈。规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。8．接下来是符号“/”，因此，栈顶的2与10出栈，10与2相除，得到5，将5进栈。10．结果是20出栈，栈变为空。

例如，可以设置一个标志位来表示每次内循环是否发生了交换，如果没有交换则说明数组已经是有序的，可以提前退出外循环。在每次外循环中，内循环会从数组的第一个元素到倒数第i个元素进行比较和交换，将较大的元素往后冒泡。因此，总的比较次数为n*(n-1)，即n^2-n。当输入数组已经按照逆序排列时，需要进行最多的比较和交换操作，从而导致最坏时间复杂度为n^2。起泡排序（Bubble Sort）的最坏时间复杂度为n^2的原因是因为它要进行n次外循环，每次循环都要比较相邻的两个元素并进行位置交换。

在函数内部，我们使用std::binary_search函数进行二分查找，并将迭代器范围的起始位置设置为数组的第一个元素，结束位置设置为数组的最后一个元素加 1。因此，如果要使用std::binary_search函数查找一个元素是否存在于一个有序数组中，并且需要将哨兵元素包含在区间内部，则可以将迭代器范围的起始位置设置为数组的第一个元素，结束位置设置为数组的最后一个元素加 1。如果迭代器范围中包含一个或多个元素，并且目标值在迭代器范围内，则std::binary_search函数会返回true。

根据期望值的线性律，我们可以计算E(Z) = E(X1) + E(X2) + E(X3) = 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1.5。我们需要证明当 n=k+1 时公式也成立，即 1 + 2 + ... + k + (k+1) = ((k+1)*((k+1)+1))/2 成立。期望值的线性律则是指若两个随机变量X和Y，以及常数a和b，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)，即期望值可以按比例相加。在上面的例子中，有两个名为add()的函数，但参数类型不同。虚函数允许在派生类中进行重写。