非对称算法RSA原理——浅述

一、质数（RSA基因）
定义：指在大于1的自然数中，除了1和它本身之外不再有其他因数的自然数，也可说除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数。
互质定义：公因数只有1的两个非零自然数。

二、欧拉函数（RSA建立基础）
定义：任意给定的正整数n，请问在小于等于n的正整数中，有多少个数(假设x个)与n构成互质关系？计算这个值(x)的函数叫做欧拉函数，以£(n)表示。（这里边的函数符号只是本文写的，不具参考意义。）

三、欧拉定理（RSA建立基本雏形）
如果两个正整数m和n互质，那么m的£(n)次方减去1可以被n整除。
m^£(n) mod n = 1
根据费马小定理，如果两个正整数m和n互质，且n为质数，则£(n)等于n-1，所以：
m^n-1 mod = 1
四、模反元素（RSA最后的翅膀）
定义：如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到一个整数d，使得ed-1可以被x整除，也可以说ed对x取余为1，那么d就是e相对于x的模反元素。
ed mod x = 1
五、最后做一次等式变化（RSA）
对欧拉定理变化，两边做k次幂得到m^(k£(n)) mod n = 1，两边再乘m得到m^(k£(n)+1) mod n = m。
看到这里就发现是不是有个地方和模反元素很相似，替换m的次幂得到：
m^(ed) mod n = m ——最后的等式雏形
可以看出，ed = k£(n)+1，所以，必要的条件是e和£(n)是互质的，一定有一个d是e相对于£(n)的模反元素。
这个等式被证实，不需要m和n互质，只需要m小于n等式依然成立！！
至此，似乎对m的加密和解密可以用最后的等式雏形来描述，但是有个问题，就是加密结果较大，明文比较小，悬殊较大。

六、迪菲赫尔曼密钥交换（公私钥的诞生）
非对称出现之前，人们用对称加密，密钥的保密性要求很高，迪菲赫尔曼密钥交换解决了这个密钥传递过程中保密问题。
举例子:
A私钥为13 B私钥为15
算法为：
3^13 mod 17 = 12(A公钥)
3^15 mod 17 = 6(B公钥)
然后 A 和 B互相把自己的公钥传给对方，再用自己的算法得到要保护的密钥。
6^13 mod 17 = 10 12^15 mod 17 = 10
10就是要保护的密钥。
问题：为什么上边两个算法用不同的公钥正好就能得到一样的数据呢？ 因为迪菲赫尔曼密钥交换把变形的欧拉定理拆开了！形成了这个规律。

拆开后的公式为:
m^e mod n = C
C^d mod n = m^(e*d) mod n = m。

RSA诞生
m^e mod n = C ——加密

C^d mod n = m ——解密

需要找到d是e相对于£(n)的模反元素，等式即可成立。

现在来看看这个难度：
加密时候需要知道k£(n)+1，£(n)可以通过两个互质的数的积得到。n = ab， a b 互质，则£(n)=£(a)*£(b)
别人想破解，也需要知道£(n)，那么就需要对n进行因式分解，所以我们选用n较大时候，破解的难度就更大了，现在1024bit的密钥可以很安全了，除了量子计算机外！！

参考文献：
https://blog.youkuaiyun.com/wjiabin/article/details/85228078?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-3.channel_param&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-3.channel_param