MATLAB：通过几个边界点估算面积

先看下面这道题：

1. 题目

想要用少数几个点计算估算出面积，我们应该要考虑以下两个方面：

1. 用点拟合出一条曲线
2. 使用曲线进行积分，从而计算出面积

那我们分别用matlab进行实现：

2. 曲线拟合

有了点的数据，自然可以使用matlab的polyfit函数进行拟合(官方文档)。

当然，直接拿原始数据进行拟合显然是不正确的：

1）不正确的做法

% 直接进行拟合
p=polyfit(x,y,2)

得到的结果就是：

p =

   -0.0338    0.2766    4.1545

解释一下：这个p即为次数为 n 的多项式 p(x) 的系数。

对于本题来说，对于二次多项式$p(x)=a{x}^2+bx+c$，$p=[a,b,c]$

我们可以将其画出来进行对比：

x1=linspace(0,10);
y1 = polyval(p,x1);
plot(x1,y1); % 预测的折线图
hold on;
scatter(x,y); % 真实数据的散点图

结果为：

之所以产生这样的效果，当然是因为这16个点绝对不能被一个函数所拟合。想想高中学的函数的定义就知道了……

2）正确的做法（简单版）

考虑到了不能用一个函数所拟合，那么我们自然可以用多个函数进行分别拟合。

最简单的做法就是将上、下两条曲线分别拟合，完整代码如下：

clc;clear;
%% 
load init.mat % 存储x和y
[max1,maxIndex]=max(x);
[min1,minIndex]=min(x);
%%
if(minIndex<maxIndex)
    x1=x(minIndex:maxIndex);
    y1=y(minIndex:maxIndex);
    x2=[x(maxIndex:-1), x(1:minIndex)];
    y2=[y(maxIndex:-1), y(1:minIndex)];
else
    x1=x(maxIndex:minIndex);
    y1=y(maxIndex:minIndex);
    x2=[x(minIndex:-1), x(1:maxIndex)];
    y2=[y(minIndex:-1), y(1:maxIndex)];
end
%%
p1=polyfit(x1,y1,2);
p2=polyfit(x2,y2,2);
%%
xx=linspace(0,10);
yy1 = polyval(p1,xx);
yy2 = polyval(p2,xx);
plot(xx,yy1); % 预测的折线图
hold on;
plot(xx,yy2);
scatter(x,y); % 真实数据的散点图

结果如下：

虽然看着感觉还是不靠谱，但是至少可以计算出一个解出来了

3）稍加改进（？）

假装没有看到题目的二阶光滑曲线(doge)

将原先的：p1=polyfit(x1,y1,2);p2=polyfit(x2,y2,2);换成：

p1=polyfit(x1,y1,4);
p2=polyfit(x2,y2,4);

其实就是用更高维度的曲线进行拟合，这么拟合的结果稍微好一些：

3. 计算面积

只需要将上下两个函数分别求积分，即可得到结果：

clc;clear;
load init.mat;
load test2.mat;
minIndex=8;
maxIndex=16;
%% 求积分
syms a;
f1=poly2sym(p1);
f2=poly2sym(p2);
area1 = int(f1,x(minIndex),x(maxIndex));
area2 = int(f2,x(minIndex),x(maxIndex));
area = double(area1-area2)

使用二阶曲线进行拟合的结果为：

area =

   47.7477

使用四阶曲线进行拟合的结果：

area =

   50.8495