12、支持向量机及其应用：从基础到实践

支持向量机及其应用：从基础到实践

1. 引言

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种强大的机器学习算法，广泛应用于分类和回归任务。SVM的核心思想是通过生成两个类别之间的决策边界来进行分类，这种边界由训练数据的一个特殊子集——支持向量定义。相比于其他分类算法，SVM具有独特的优点，例如生成具有最大间隔的独特决策边界，以及通过核函数实现非线性分类。本文将详细介绍SVM的基本原理、应用场景和技术细节。

2. 支持向量机的基本原理

2.1 线性可分情况下的支持向量机

在最简单的情况下，SVM用于线性可分数据。假设我们有一组线性可分的训练数据，每个数据点 ( (x_i, y_i) ) 中，( x_i ) 是特征向量，( y_i ) 是类别标签（+1 或 -1）。SVM的目标是找到一个最优超平面，将两类数据分开，并使超平面两侧的间隔最大化。超平面的方程可以表示为：

[ w^T x + b = 0 ]

其中，( w ) 是权重向量，( b ) 是偏置项。对于线性可分的数据，超平面的优化问题可以表示为：

[ \min_{w,b} \frac{1}{2} ||w||^2 ]
[ \text{subject to: } y_i (w^T x_i + b) \geq 1, \forall i ]

2.2 硬间隔支持向量机

硬间隔支持向量机（Hard Margin SVM）适用于完全线性可分的情况。此时，SVM保证找到一个唯一的解，即最优超平面。然而，现实世界中的数据往往是不可分的，因此需要引入软间隔支持向量机（Soft Ma