12、可解释的精确线性降维：基于正性的方法

可解释的精确线性降维：基于正性的方法

在现代科学研究中，生化系统的动力学模型常常包含大量变量，这给深入理解系统机制带来了挑战。本文将介绍一种新的算法，用于提高精确线性降维模型的可解释性。

1. 研究背景

在系统生物学和生命科学领域，由多项式常微分方程（PODEs）描述的动力学模型被广泛应用。其中，基于质量作用动力学的化学反应网络（CRN）模型尤为常见，这些模型中的每个变量通常对应一种化学物质的浓度。然而，现代文献中的模型往往包含数百甚至数千个变量，虽然它们便于进行详细的模拟，但模型的规模却成为了获取机制性见解的障碍。

为了解决这个问题，研究人员采用了模型降维的方法。模型降维主要分为近似降维和精确降维两种。近似降维方法包括基于奇异值分解和时间尺度分离的方法；而精确降维则是在不引入近似误差的情况下降低模型的维度。例如，精确线性集总（lumping）旨在为一组宏观变量构建一个自洽的微分方程系统，其中每个宏观变量都是原始变量的线性组合。

最近，新算法CLUE被设计并实现，它可以构建最小维度的精确线性降维，同时保留感兴趣的固定变量。与之前的方法不同，CLUE允许使用任意线性组合，这可能会产生更小的降维结果。然而，这种灵活性也带来了一个缺点：一些新变量没有明确的物理意义，使得降维后的模型难以解释。

2. 研究方法

2.1 集总基础

• 集总定义 ：考虑一个形式为 $x’ = f(x)$ 的常微分方程系统，其中 $x = (x_1, \ldots, x_n)^T$，$f = (f_1, \ldots, f_n)^T$，且 $f_1, \ldots, f_n \