新手村：逻辑回归-01.什么是逻辑回归-初识速学

新手村：逻辑回归-01.什么是逻辑回归-初识速学

假设你是一个刚接触逻辑回归的学生，如何能够快速理解并构建逻辑回归的理论体系，帮助进行后续机器学习课程？如果直接使用Python sklearn工具进行代码例子学习，会遇到什么困难？

学生思考方向：

• 问题痛点：
  如果仅依赖sklearn的LogisticRegression类直接调用模型，你可能无法理解以下关键问题：
  • 模型如何将输入特征映射到分类结果？
  • 参数（如权重w和偏置b）是如何确定的？
  • 为什么不能直接用线性回归解决分类问题？
    这些疑问会导致你无法灵活调整模型（如处理非线性数据或解释结果），甚至可能误用算法。

需求引入

我们需要一种方法，能从概率分布、损失函数和优化算法的底层逻辑出发，理解逻辑回归如何通过数学推导实现二分类任务，从而为后续学习更复杂的模型（如神经网络、支持向量机）打下基础。

问题背景：
假设你是一名学生，想根据考试成绩（比如数学和语文分数）预测是否能考上重点高中（二分类问题：考上/没考上）。

• 线性回归的局限性：
  如果直接用线性回归（如 $y=wx+b$），预测结果可能是连续值（如 1.2 或 -0.5），但实际我们需要的是概率（0到1之间）或类别（0或1）。

因此
逻辑回归诞生了——它将线性回归的结果通过一个“概率转换器”（Sigmoid函数）映射到0到1之间，从而解决分类问题。

流程图

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分解学习文章

• 新手村：逻辑回归-理解01：目标变量、伯努利分布的概率概率、特征X之间的关系
• 新手村：逻辑回归-理解02：逻辑回归中的伯努利分布

待了解知识点补充：

• 逻辑回归为什么需要服从伯努利分布？新手村：逻辑回归-理解02：逻辑回归中的伯努利分布
• 为什么输出概率与输入特征的线性组合z = w·x + b呈对数关系 新手村：逻辑回归-理解01：目标变量、伯努利分布的概率概率、特征X之间的关系
• Sigmoid函数为什么可以转换为概率？
• 为什么使用对数损失函数（交叉熵损失）衡量预测与真实标签的差异？而不是其他损失函数，比如均方误差？
• 信息熵理论？
• 通过最大化对数似然（等价于最小化对数损失函数），逻辑回归找到最优参数w，使得模型输出的概率与真实标签尽可能一致。如何理解？我是一个刚接触的学生，请通俗易懂或者举例讲解

什么是逻辑回归?

逻辑回归（Logistic Regression）是机器学习中一种基础且重要的分类算法，常用于二分类问题（如垃圾邮件检测、疾病诊断等）,而非预测连续数值。它是机器学习和统计学中应用最广泛的模型之一，尽管名字中包含“回归”，但它本质上是一个分类模型.

为什么需要逻辑回归？

1. 分类任务的需求
   假设你是一名学生，想根据数学和语文成绩预测是否能考上重点高中（二分类问题：考上/没考上）。这类问题的核心是：

   • 输出类型：需要预测的是类别（0或1），而非连续值（如分数）。
   • 概率需求：希望知道“考上”的概率（如80%），而非直接得到0或1的硬分类结果。

2. 线性回归的局限性
   线性回归（如 $y=wx+b$）的输出是连续值（如1.2或-0.5），无法直接表示概率或类别。例如：

   • 若预测结果为1.2，无法解释为“考上”的概率；
   • 若结果为负数（如-0.5），则逻辑上无法表示“不可能考上”。

3. 逻辑回归的解决方案
   逻辑回归通过以下步骤解决分类问题：

   1. 线性组合：将特征与权重结合，得到线性输出 $z=w^{T}x+b$；
   2. 概率转换：用Sigmoid函数将线性输出映射到0到1的概率；
   3. 优化参数：通过最大化数据的似然函数找到最佳权重和偏置。

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核心概念：概率与分类

⭐️⭐️⭐️ 伯努利分布
逻辑回归假设目标变量 $Y$ 服从伯努利分布，即：
$$P(Y=1|X)=p,P(Y=0|X)=1-p$$
例如，考上重点高中的概率 $p$ 和没考上的概率 $1-p$ 构成了伯努利分布。

⭐️⭐️⭐️对数几率（Log Odds）
对数几率是“成功概率”与“失败概率”比值的对数：
$$\text{对数几率}=\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)$$
例如，若考上概率 $p=0.8$，则几率为 $4:1$，对数几率为 $\ln (4)\approx 1.386$。

⭐️⭐️⭐️Sigmoid函数
Sigmoid函数将对数几率（或线性组合 $z$）映射到0到1的概率：