傅里叶变换精髓-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jy02660221/article/details/85483687

考官级讲解傅里叶变换

一.傅里叶变换公理

满足狄里赫利条件的周期为T的函数x(t)，可有如下公式成立：

其中，，非周期信号可做数学处理令T= 。

该公式是整个傅里叶变换的核心。这个定理如何来的，可参考傅里叶大神的原著，对于我们工程及实际使用意义不大。此处我们认为其为整个傅里叶变换的公理即可。当然余弦和正弦是一样的，此处原则上也可以用正弦表示，只是默认惯例写法。

二．公式(1)的意义及理解

这个公式有如下几层的理解：

1.函数的合成

“以为基频的无数个余弦信号的线性组合+直流量 ”可以无限的逼近原函数x(t)，且这种合成的各参数组合是唯一的。

2.函数的分解

x(t)可以分解成“以为基频的无数个余弦信号的线性组合+直流量 ”，且这种分解的各参数组合是唯一的。

3.傅里叶变换中参数的意义

：直流偏置

：的权值/系数，该系数越大，则说明x(t)中含有的成分越多。注意，所有的余弦函数频率都是基频的整数倍，且n越大，对应的余弦函数频率越高。

：基频，cos函数的基频。即x(t)能分解出的最低频率cos信号等于x(t)本身的周期。也即傅里叶变换不能分析频率小于x(t)本身的周期的信息。

n：表示第n个cos函数，也即是对应频域的位置。n=5，也即表示频域位置为5的地方。

：相位。cos函数的形状由频率和相位决定，即此处也说明了，各个cos函数的相位也是有差别的。当然作为滤波这个领域一般很少关注相位。

三．频域

最让小伙伴困惑的就是频域，很多小伙伴大多知道怎么用傅里叶变换，但一到原理性的东西就是一团浆糊。

我们对左图函数进行10点(即n=0~9)傅里叶变换，幅度图假设为右图(仅是示意)。则频域幅度图上一共就有10个点。第n个点的值表示其对应的第n个cos函数的系数值。越大则表示x(t)中含有频率的余弦函数的成分越多。

我们在频域的滤波也就是相当于重新给各个余弦函数分配系数：将想要的频率段的系数保留，要滤除的信号频率段系数降低。再反变换回去，则达到滤波的目的。

2.频域相位图

图3-2

同样，3-2右图是其的相位图，非控制类专业同学对相位图接触会比较少，我们也仅仅做简单讲解。每一个余弦函数的相位对于滤波其没有过多意义。但在我们进行控制系统分析时，往往需要分析系统对输入信号的作用，其作用往往包含2个方面：幅度的作用力；相位的作用力。如右图红点，说明该系统对附近频率的信号，会产生接近的相位作用力，即相应频段的输入信号经过该系统后，输出信号相位会有一个的差异(反向)。

四：连续函数傅里叶变换

傅里叶变换，其实本质上求解、、。而其整个傅里叶变换的应用就是去处理这3个参数，这3个参数即是傅里叶变换的核心。

1.公式(1)的变形：

公式(1)在数学上是无法直接求解的，所以傅里叶大神将其变形后使其真正具有了工程价值：

2.参数的直接求解：

有了公式(2)，现在求解3参数就非常容易了：

其中主要用到了余弦函数的正交性(请自行证明，主要用到三角函数公式)：

3.傅里叶变换：

原则上傅里叶变换用式(3)就已经够了。但是傅里叶大神进行了更加优美的设计，引入了令大多数同学瞬间蒙B的变量。

2）欧拉公式：

欧拉公式：。

3) 连续函数傅里叶变换：

4) 傅里叶变换式与公式(3)的联系

利用欧拉公式，带入傅里叶变换式可得：

则=>

此处公式5，也是我们各位小伙伴最最最常用到的公式。这也是傅里叶大神为何引入复指数变量的原因：将cos和sin统一进了一个公式，将原来的公式3的3个式子写到了一个里面。

五：连续函数的频域

在我们学习傅里叶变换的过程中，连续/离散、周期/非周期的函数，其频域图是具有不同特点的。想想当时博主也是靠死记下来的。。。以下给大家梳理连续函数频域的特点。

1.以T为周期的连续函数x(t)的频域幅度图：离散，无限

因为x(t)是周期的，所以在一个周期和多个周期进行求解结果是一致的。其傅里叶变换的幅度图如图3-1所示。其频域是离散的，间隔为基频。且其理论上无限的，且当n逐渐增大时，分解的误差/逼近的误差会越来越来小。

2.非周期连续函数x(t)的频域幅度图：连续、无限

X(t)是非周期的，则在数学上等效于x(t)的周期 T= 。那么我们可以看到其在频域上点的间隔。我们在章节二-3中也说到，周期为T的函数，其能分析的频率最小的信号即信号间隔为。即T越大，我们能分析的最小间隔就越小。当间隔->0时，其频域幅度/相位函数也即退化为连续函数，所以才有课本上的非周期信号频域是连续的结论。