ST表

ST表(sparse-table)是一种代码极其短的数据结构，RMQ（Range Minimum Qustion，范围最小值问题)专用。

RMQ就是给你一个序列不断询问你给定区间内的最小值。

ST表只能解决静态的RMQ，动态的需要用到万能的常数贼大的线段树。

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ST表基本思想：$d[i][j]$ 表示以 $i$ 为起点，长度为 $2^j$ 这一段区间中的最小值。

例如，$d[3][2]$ 就是 $3\sim 3+2^2$ 区间，即$3\sim 7$ 区间的最小值。

ST表初始化代码：

for (register int i(1); i <= n; ++ i) d[i][0] = a[i] = read();
for (register int i(n); i >= 1; -- i)
for (register int j(1); i + (1 << j - 1) <= n; ++ j)
d[i][j] = max(d[i][j - 1], d[i + (1 << j - 1)][j - 1]);

由于本身ST表解决问题范围有很大的局限性上述代码可以直接背。

原理用一张图就可以说明了：

我们要算出 $d[i][j]$ 的值，也就是 $i\sim i+2^j$ 区间内的最小/大值，此时可以将它分成两部分：$i\sim i+2^{j-1}$ 与 $i+2^{j-1}$。在这两个区间里取最小/大值即可。

查询操作： 设我们要查询 $[L,R)$ 区间的最小/大值，设 $2^k<R-L<2^{k+1}$，则可以通过区间 $[L,L+2^k]$ 与区间 $[R-2^k+1,R]$ 的解合并得到。如图。

其实我们算重了一段区间：$[R-2^k+1,L+2^k-1]$，不过对于取最值无所谓。正因为如此，ST表无法处理加法的情况。（不过我奶出来了一个ST表求区间加法的方法，后面说）。

查询操作代码：

inline int query(int L, int R) {
	register int k(0);
	while ((1 << k + 1) <= R - L + 1) ++ k;
	return max(d[L][k], d[R - (1 << k) + 1][k]);
}

ST表预处理复杂度 $O(nlogn)$，查询操作……别人都说 $O(1)$，可是蒟蒻觉得是 $O(logn)$ 啊？

完整代码：（后面才是重头戏，这个代码只是铺垫一下）

#include <cstdio>
#define max(x, y) (x > y ? x : y)
#define nc (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 65536, stdin), p1 == p2) ? EOF : * p1 ++)

char buf[65536], * p1, * p2;

inline int read() {
	int x(0);
	char ch;
	while ((ch = nc) < 48);
	while (ch >= 48) x = x * 10 + ch - 48, ch = nc;
	return x;
}

int d[100005][20], a[100005];

inline int query(int L, int R) {
	register int k(0);
	while ((1 << k + 1) <= R - L + 1) ++ k;
	return max(d[L][k], d[R - (1 << k) + 1][k]);
}

int main() {
	int n(read()), m(read());
	for (register int i(1); i <= n; ++ i) d[i][0] = a[i] = read();
	for (register int i(n); i >= 1; -- i)
	for (register int j(1); i + (1 << j - 1) <= n; ++ j)
	d[i][j] = max(d[i][j - 1], d[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
	while (m --) {
		register int L(read()), R(read());
		printf("%d\n", query(L, R));
	}
}

下面是我奶出的静态区间求和ST表实现法：

预处理阶段将 $max$ 改为求和即可。查询操作我采用了递归计算：上面有说到，查询操作重复计算了一部分，那我们将这一坨减去不就可以了？预处理复杂度不变，但是查询操作大概率会被卡掉……所以我们采取了一种新的方法：

先计算区间 $[L,L+2^k-1)$ 的和，然后递归计算区间 $[L+2^k,R)$ 的和。时间复杂度不变，只是常数飞起

$Code:$

#include <cstdio>
#define max(x, y) (x > y ? x : y)

char buf[65536], * p1, * p2;

inline int read() {
	int x(0), f(1);
	char ch;
	while ((ch = getchar()) < 48) if (ch == '-') f = -1;
	while (ch >= 48) x = x * 10 + ch - 48, ch = getchar();
	return x * f;
}

int d[100005][20], a[100005];

inline int query(int L, int R) {
	if (L > R) return 0;
	if (L == R) return a[L];
	register int k(0);
	while ((1 << k + 1) <= R - L + 1) ++ k;
	return d[L][k] + query(L + (1 << k), R);
}

int main() {
	int n(read()), m(read());
	for (register int i(1); i <= n; ++ i) d[i][0] = a[i] = read();
	for (register int i(n); i >= 1; -- i)
	for (register int j(1); i + (1 << j - 1) <= n; ++ j)
	d[i][j] = d[i][j - 1] + d[i + (1 << j - 1)][j - 1];
	while (m --) {
		register int L(read()), R(read());
		printf("%d\n", query(L, R));
	}
}