HDU6050 Funny Function[矩阵快速幂]

最新推荐文章于 2019-03-17 13:54:13 发布

ControlBear

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分类专栏：数论数论---快速幂文章标签： HDU 矩阵快速幂

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数论---快速幂

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定数列问题的方法，通过观察数列规律，构建矩阵，并采用快速幂运算高效计算第n项的值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Funny Function

HDU - 6050

题意:

给出一个函数由题目给的公式可以求出其他项，给出一个n和m，根据这个求出。结果取模1e9+7

题解:

根据前几项

1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 ......

都是由第二条公式推导出来的

那么当n等于3的时候，第二行就变成 5 9 19 37 75 149 ......

当n等于4的时候，第二行就变成 10 20 40 80 160 320 640 ......

手动自己写一下几项会发现同样还是符合第二条

那么就会有一条

T_T 观察一下吧

然后就会发现一个规律

最后根据这三个式子

我们可以得出

当n为偶数的时候

当n为奇数的时候

然后我们就得到我们要的矩阵了

用矩阵快速幂就可以直接求出答案了

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2;
ll a[N][N],b[N][N],ans[N][N],tmp[N][N];
ll Mul(ll a[][N],ll b[][N])
{
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
    for (int i=0 ; i<N ; ++i)
        for (int j=0 ; j<N ; ++j)
            if (a[i][j])
                for (int k=0 ; k<N ; ++k)
                    tmp[i][k]=(tmp[i][k]+a[i][j]*b[j][k]%mod+mod)%mod;
    for (int i=0 ; i<N ; ++i)
        for (int j=0 ; j<N ; ++j)
            a[i][j]=tmp[i][j];
}
ll Pow(ll ans[][N],ll a[][N],ll m)
{
    while (m)
    {
        if (m&1)
            Mul(ans,a);
        Mul(a,a);
        m>>=1;
    }
}
ll Add(ll a[][N],ll b[][N],int flag)
{
    for (int i=0 ; i<N ; ++i)
        for (int j=0 ; j<N ; ++j)
            a[i][j]=(a[i][j]+flag*b[i][j]+mod)%mod;
}
void initial(ll n,int flag)
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    memset(a,0,sizeof(a));
    for (int i=0 ; i<N ; ++i)
        b[i][i]=ans[i][i]=1;
    a[0][1]=a[1][1]=1;
    a[1][0]=2;
    Pow(ans,a,n);
    for (int i=0 ; i<N ; ++i)
        for (int j=0 ; j<N ; ++j)
            a[i][j]=ans[i][j];
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    for (int i=0 ; i<N ; ++i)
        ans[i][i]=1;
    if (flag==1)
    {
        b[0][0]=1;
        b[0][1]=-1;
        b[1][0]=-2;
        b[1][1]=0;
    }
    Add(a,b,flag);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        ll n,m;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        int flag=n&1?1:-1;
        initial(n,flag);
        Pow(ans,a,m-1);
        ll res=0;
        for (int i=0 ; i<N ; ++i)
            res=(res+ans[0][i])%mod;
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}