BZOJ 1109: [POI2007]堆积木Klo 神分析， LIS， BIT, 二分

Description

　　Mary在她的生日礼物中有一些积木。那些积木都是相同大小的立方体。每个积木上面都有一个数。Mary用他的
所有积木垒了一个高塔。妈妈告诉Mary游戏的目的是建一个塔，使得最多的积木在正确的位置。一个上面写有数i
的积木的正确位置是这个塔从下往上数第i个位置。Mary决定从现有的高塔中移走一些，使得有最多的积木在正确
的位置。请你告诉Mary她应该移走哪些积木。
Input

　　第一行为一个数n，表示高塔的初始高度。第二行包含n个数a1,a2,…,an，表示从下到上每个积木上面的数。
(1<=n<=100000,1<=ai<=1000000)。
Output

　　注意：请输出最多有多少点可以处在正确位置
Sample Input
5

1 1 2 5 4
Sample Output
3

解题方法： 我们先列一下普通的DP方程，

$$dp[i] = max(dp[j] + 1) (j < i, a[j] < a[i], a[i] - a[j] <= i - j)$$

然后这里就是3个限制条件了？CDQ三维偏序？翻了翻题解，发现神思路的题目。观察三个限定条件。

$$1, j < i$$
$$2,a[j] < a[i]$$
$$3,a[i] - a[j] <= i - j$$

容易发现已知2,3可以推出1。
而1代表的是这n个数的排列顺序。
而2的条件即为最长上升子序列。
所以我们不妨把3看做这n个数的重新排列法则，之后满足2的条件即可。
所以我们只需要按照j−a[j]<=i−a[i]把n个数重新排列，接着求一个最长上升子序列长度即可。
需要注意的是，如果i−a[i]<0的话，那么显然这个数不可能与C序列中的某个数对应上，直接跳过即可。

LIS可以二分也可以用树状数组的方法，PO爷用的树状数组的方法，可以看PO爷博客，蒟蒻写了一个代码和博主几乎一样的二分版本的代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int maxm = 1000010;
struct node{
    int x, y;
    node(){}
    node(int x, int y) : x(x), y(y) {}
    bool operator < (const node &rhs) const{
        if(x == rhs.x) return y < rhs.y;
        return x < rhs.x;
    }
}b[maxn];
int n, cnt, ans, d[maxm], a[maxn];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        if(i - a[i] < 0) continue;
        b[++cnt].x = i - a[i], b[cnt].y = a[i];
    }
    sort(b + 1, b + cnt + 1);
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        int l = 1, r = ans, len = 0;
        while(l <= r){
            int mid = (l + r) / 2;
            if(b[i].y > d[mid]){
                len = mid, l = mid + 1;
            }
            else{
                r = mid - 1;
            }
        }
        ans = max(ans, len + 1);
        d[len + 1] = min(d[len + 1], b[i].y);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}