[题解][LG-P6811]「MCOI-02」Build Battle 建筑大师

$⟹$原题链接

给定一个序列长度 $N$ 和 $Q$ 个询问，每次询问给定循环大小 $M$。

每次询问，先生成一个长度为 $N$ 的序列，其中第 $i$ 个位置为 $(i-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M+1$，比如当 $N=7,M=3$ 的时候生成的的序列就是 { 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 } \{1,2,3,1,2,3,1\} {1,2,3,1,2,3,1} 。接着回答这个序列有多少本质不同的子序列。两个子序列本质不同，当且仅当子序列的长度不同或存在一个位置不同。

首先我们需要定义一个简单的规则让我们计算的时候不会算重。

对于子序列中连续的递增的一段，我们强制让它用原序列中同一个循环节生成，而相邻两个递增段使用原序列中相邻的两个循环节生成的。

比如原序列为 { 1 , 2 , 3 / , 1 , 2 , 3 / , 1 , 2 , 3 / , 1 } \{1,2,3/,1,2,3/,1,2,3/,1\} {1,2,3/,1,2,3/,1,2,3/,1}，那么对于其中的一个子序列 { 1 , 2 , 3 / , 1 , 3 / , 1 } \{1,2,3/,1,3/,1\} {1,2,3/,1,3/,1}，我们规定它使用位置集合 { 1 , 2 , 3 / , 4 , 6 / , 7 } \{1,2,3/,4,6/,7\} {1,2,3/,4,6/,7} 生成。

接下来考虑 $\mathrm{d}\mathrm{p}$，设 $f(i)$ 表示构造的子序列最后一个位置是使用原序列中第 $i$ 个位置生成的，那么上一个位置就可以选 $i-M+1$ 到 $i-1$，若选择之前的位置就违反了之前定的规则了。

那么可以得到：

f ( i ) = ∑ j = max ⁡ { i − M , 0 } i − 1 f ( j ) f(i)=\sum\limits_{j=\max\{i-M,0\}}^{i-1} f(j) f(i)=j=max{i−M,0}∑i−1​f(j)

可以使用前缀和优化一下：

$$\begin{gathered} s(i)=\sum _{j=0}^{i}f(j) \\ f(i)=s(i-1)-s(i-M-1) \end{gathered}$$

可以发现，实际上我们需要求的答案就是 $s(n)$, 而根据上面的式子，可以稍微推导一下：

$$s(i)=s(i-1)+f(i)=2s(i-1)-s(i-M-1)$$

但是这样依然是 $O(nq)$ 的。考虑转化一下问题。（这个东西是看题解的）
现在假设在数轴上有一个点，开始的时候在 $0$, 然后有一个值 $v$，开始的时候等于 $0$，每走一步就在答案中加上当前的$v$，每一步有两种选择：

1. 向右移动 $1$ 格，然后 $v$ 乘上 $2$。
2. 向右移动 $M+1$ 格，然后 $v$ 取相反数。

最终这个点要走到 $n$，那么它的答案贡献计算显然是：
$$ans=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{N}{M+1}\rfloor }(-1{)}^i\times 2^{N-(M+1)i}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{N-(M+1)i+i}{i})$$

对于每一个 $m$ ,我们都求出其答案，那么时间复杂度就是 ${\sum }_{i=1}^m\frac{m}{i}=O(m{\log }_{2}m)$