正交变换（傅里叶变换、Z变换）

最新推荐文章于 2025-11-20 12:21:52 发布

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#信号处理

本文深入探讨了信号的正交变换，包括傅里叶变换和Z变换。正交变换将信号分解为独立的分量，便于处理和数据压缩。傅里叶变换将周期和非周期信号转化为频域表示，而Z变换作为傅里叶变换的推广，适用于非因果序列。文中详细解释了这两种变换的定义、性质和应用实例，如图像处理和消除匀速直线运动。

正交变换（傅里叶变换、Z变换）

信号分解方法多种多样，我们可将信号分解为直流分量+交流分量、偶分量+奇分量、实部分量+虚部分量、脉冲分量、正交分量等多种形式。其中一个较复杂而又有重要意义的分解方法便是将信号分解为正交分量，我们把这个过程称作：信号的正交分解（正交变换）。

将信号正交分解之后，可以用于：

方便处理

便于抽取特性

数据压缩

首先有一个问题——什么是正交？

在线性代数中我们了解过，向量的正交指的是 $a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ ——两个向量的内积为0，意味着两个向量在对方上的投影为0，即可认为这两个向量互不相关互不影响。显然，向量的正交对应的是正交的离散形式 $∑i=0nai∗bi=0\sum_{i=0}^n a_i * b_i = 0$ 。

然而，从信号的角度，许多信号其实是连续的，由连续的函数所表示，那么我们又该如何定义正交的连续形式呢？由此，我们引入连续函数的概念：如果在区间 ( $t_1, t_2$ ) 上，函数 $f_1$ (t) 和 $f_2$ (t) 互不含有对方的分量，则称 $f_1$ (t) 与 $f_2$ (t) 在( $t_1, t_2$ )上正交。 即：
$<f_1 , f_2> = \int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt = 0$
并有定理：

任一函数 f (t)在 ( $t_1, t_2$ ) 上可表示为正交函数集内函数的线性组合。
$\approx \sum_{n=1}^Nc_ng_n(t)$

同时，用于正交变换的方法也多种多样：

傅里叶变换 Fourier Transform

离散余弦变换 Discrete Cosine Transform

沃尔希-哈德玛变换 Walsh-Hadamard Transform

斜变换 Slant Transform

哈尔变换 Haar Transform

离散小波变换 Discrete Wavelet Transform

离散K-L变换 Discrete Karhunen-Leave Transform

奇异值分解SVD变换 Singular-Value Decomposition

Z变换