22、可见性图理论与链接路径问题解析

可见性图理论与链接路径问题解析

在图形算法领域，可见性图理论和链接路径问题是重要的研究方向。可见性图理论主要涉及计算最大团和最大隐藏顶点集等问题，而链接路径问题则聚焦于在多边形区域内寻找最小链接路径、计算链接直径、链接半径等相关问题。这些问题在机器人运动规划、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

可见性图理论

计算最大团的算法

计算可见性图 (G) 中最大团的算法步骤如下：
1. 从图 (G) 构建 (G_1, G_2, \cdots, G_n)。
2. 初始化集合 (S) 为空。对于每个图 (G_i)，使用交叉可见性将其划分为子图，并将这些子图添加到 (S) 中。
3. 对于集合 (S) 中的每个子图 (Q)，如果 (Q) 不是凸扇形的可见性图，则将 (Q) 分解为凸扇形的可见性图，并在 (S) 中用这些分解后的子图替换 (Q)。
4. 对于集合 (S) 中的每个子图 (Q)，使用有效边对为 (Q) 的边分配权重，并从加权子图 (Q) 中定位 (Q) 中最大团的顶点。
5. 从集合 (S) 中子图的最大团中选择最大的团，并将该团指定为图 (G) 中的最大团。
6. 输出图 (G) 中的最大团并停止。

该算法的时间复杂度分析如下：
|步骤|时间复杂度|原因|
| ---- | ---- | ---- |
|步骤 1| (O(nE)) |每个子图可以在 (O(E)) 时间内构建，共 (n) 个子图|
|步骤 2| (O(nE)) |根据引理，每个 (G_i) 可以在 (O(E)) 时间内划分，共 (n) 个图|
|步骤 3| (O(n^2E)) |分解