19、可视性图理论：识别与特征分析

可视性图理论：识别与特征分析

1. 测试必要条件的O(n²)算法

在可视性图理论中，我们关注如何测试给定图G是否满足特定的必要条件。这里介绍一种由Ghosh提出的O(n²)时间复杂度的算法，用于测试前两个必要条件，其中n是图G的顶点数量。

假设图G的顶点标记为v₁, v₂, …, vₙ，并且哈密顿循环C = (v₁, v₂, …, vₙ)按逆时针顺序排列，图G存储在邻接矩阵中。

• 必要条件1的测试 ：必要条件1可以通过检查图G中每个有序循环的弦数来测试。然而，由于有序循环的顶点数从4到n变化，可视性图的有序循环数量呈指数级增长，因此简单的测试方法是指数时间算法。为了优化，我们引入连续可见顶点的概念。如果(vi, vj)和(vi, vk)是图G中的可见对，并且对于每个vl ∈ chain(vj + 1, vk - 1)，(vi, vl)是不可见对，则vj和vk称为vi在图G中的连续可见顶点。有如下引理：
  • 引理6.2.3：如果给定图G满足必要条件1，则图G中每个顶点的任意两个连续可见顶点在图G中通过一条边连接。
  • 引理6.2.4：如果给定图G满足每个顶点的任意两个连续可见顶点在图G中通过一条边连接的条件，但不满足必要条件1，则图G不满足必要条件2。

对于必要条件1的测试，只需要检查图G中每个顶点的任意两个连续可见顶点是否相邻。由于图G存储在邻接矩阵中，检查任何顶点的此条件所需的时间为O(n)。

• 必要条件2的测试 ：对于图G中的每个不可见对(vi,