4、简单多边形中计算点的可见性

简单多边形中计算点的可见性

在几何计算领域，简单多边形中计算点的可见性是一个重要的问题，它在许多实际应用中都有广泛的用途，比如计算机图形学、机器人导航等。下面我们将详细探讨如何计算简单多边形内一个点的可见性多边形，以及如何去除多边形的缠绕问题。

1. 计算简单多边形内点的可见性多边形

在一个(n)边形的简单多边形(P)内给定一个点(q)，我们的目标是计算点(q)的可见性多边形(V(q))。这里有一个算法，它在从(v_0)到(v_n)扫描多边形(P)的顶点时，每个顶点只会被考虑一次。如果某个顶点(v_i)被压入栈中，除非在回溯过程中被移除，否则它会一直留在栈中。一旦(v_i)从栈中移除，算法就不会再考虑它。因此，该算法的整体时间复杂度为(O(n))。

定理 1 ：给定一个(n)边形的简单多边形(P)内的点(q)，其可见性多边形(V(q))可以在(O(n))时间内计算出来。

这里还有一个相关的练习：假设(q)是一个给定的三角化简单多边形(P)内的点，设计一个程序来计算(q)在(P)中的可见性多边形，该程序的运行时间与在(P)的三角化中从(q)部分或完全可见的三角形数量成正比。

2. 去除多边形的缠绕：(O(n))算法

接下来，我们要介绍一个由Bhattacharya等人提出的(O(n))时间算法，用于去除简单多边形(P)相对于其内部给定点(q)的缠绕问题。

给定一个简单多边形(P)和点(q \in P)，我们的问题是计算一个简单多边形(P1 \subseteq P)（称为修剪多边形），使得(P1)包含(V(q))和(q)，并且当按顺时针或逆时针顺序扫描(P1)的边