25、降维技术与推荐系统：原理、优化与实践

降维技术与推荐系统：原理、优化与实践

1. 主成分分析（PCA）问题的优化

主成分分析（PCA）是一种经典的特征降维技术，用于缩小每个数据点的维度。在PCA问题中，问题（9.14）对于变量C和W分别是凸的，但同时考虑时是非凸的。解决这个问题的自然方法是交替独立地最小化（9.14）中的C和W。

实际上，基于矩阵X的奇异值分解（SVD），方程（9.14）有一个封闭形式的解。设X的SVD为X = USVᵀ，则解为：
[
C^{\star}= U_{K}S_{K,K} \
W^{\star}= V_{K}^{T}
]
其中，$U_{K}$和$V_{K}$分别是左奇异矩阵U和右奇异矩阵V的前K列组成的矩阵，$S_{K,K}$是奇异值矩阵S的上K×K子矩阵。由于$U_{K}$是正交矩阵，恢复的基（用于低维子空间）确实是正交的。

这些特定的基元素跨越了原始数据集的所谓正交方差（或散布）方向。虽然在将PCA用作预处理技术时，这个特性并不是特别有用，但在统计学和社会科学等领域的探索性数据分析中经常使用。

1.1 PCA优化步骤

1. 对矩阵X进行奇异值分解，得到X = USVᵀ。
2. 根据公式计算$C^{\star}$和$W^{\star}$。

2. 推荐系统

推荐系统在当今电子商务中被广泛使用，通过利用消费者的先前购买和评分历史以及类似消费者的信息，为客户提供个性化的产品和服务推荐。例如，像Netflix这样的电影提供商，拥有数百万用户和数万部电影，会将用户的评论和评分记录在一个大型矩阵中。这些矩阵通常非常稀疏，因为单