3、数值优化与机器学习：从基础到应用

数值优化与机器学习：从基础到应用

1. 视觉信息处理与数值优化的引入

大脑中有一个区域负责处理视觉信息，其中每个神经元会检测所观察场景中特定方向和宽度的边缘。科学家认为，人类和其他哺乳动物所“看到”的，是对这些边缘检测图像进行处理后的插值结果。通过对青蛙、猫和灵长类动物的视觉研究，科学家发现单个神经元大致通过识别边缘来运作，每个神经元就像一个小的“边缘检测器”，定位图像中特定方向和厚度的边缘。

在机器学习中，寻找学习模型的参数可以通过定义明确的数学函数来形式化，这些函数通常被称为成本函数。成本函数接受一组特定的模型参数，并返回一个分数，表明使用这些参数完成给定学习任务的效果。分数越高，表明参数选择的性能越差；反之，分数越低，性能越好。

例如，在股票价格预测问题中，我们试图学习一条回归直线，根据公司的收入来预测其股价。这条直线的两个参数（斜率和截距）需要进行优化调整，从几何角度看，这相当于找到一个二维成本函数的最小值。同样，在区分猫和狗的图像分类问题中，线性分类器的两个参数（斜率和截距）的理想设置也对应着成本函数的最小值。因此，为了找到学习模型的理想参数，我们总是希望最小化成本函数，数值优化工具在其中起着至关重要的作用。

2. 数值优化的基础概念

2.1 微积分定义的最优性

2.1.1 泰勒级数近似

为了了解多次可微函数 $g(w)$ 在点 $v$ 附近的几何形状，我们可以在该点附近对函数进行线性近似。这个线性近似是一条通过点 $(v, g(v))$ 的切线，包含了一阶导数信息 $g’(v)$，其表达式为：
$h(w) = g(v) + g’(v)(w - v)$
这个线