32、突破 LeadingOnes 函数 O(n log n) 复杂度界限

突破 LeadingOnes 函数 O(n log n) 复杂度界限

1. 引言

在优化问题中，黑箱复杂度是衡量通过通用（随机化）搜索启发式方法解决问题难度的重要指标。它大致指的是为了找到函数集合中任意一个函数的最大值所需的函数评估次数，而这些函数除了已评估的点之外是未知的。黑箱复杂度是一个非常通用的下界，适用于广泛的进化算法。

常见的黑箱模型有 Droste、Jansen 和 Wegener 提出的无限制黑箱模型，以及 Lehre 和 Witt 提出的无偏黑箱模型。在无限制黑箱模型中，算法可以查询任何位串；而在 k 元无偏模型中，算法只能从 k 元无偏分布中采样搜索点，即每次迭代中，算法要么查询一个随机搜索点，要么基于最多 k 个先前查询的搜索点生成一个新的搜索点，且只能使用无偏变异算子。

本文主要关注 LeadingOnes 函数的黑箱复杂度。LeadingOnes 函数是分析不同搜索启发式优化行为的经典测试函数，其定义为 ( Lo : {0, 1}^n \to [0..n], x \mapsto \max{i \in [0..n] | \forall j \leq i : x_j = 1} )。简单的 (1 + 1) 进化算法在 Lo 函数上的期望优化时间为 ( \Theta(n^2) )。

为了更深入研究，我们考虑 Lo 函数在所有排列 ( \sigma \in S_n ) 和位值 0 和 1 交换下的闭包，定义了 ( L_{o_{z,\sigma}} : {0, 1}^n \to [0..n], x \mapsto \max{i \in [0..n] | \forall j \leq i : z_{\sigma(j)} = x_{\sigma(j)}