16、探索弱舒尔数的多级禁忌搜索与回溯算法

探索弱舒尔数的多级禁忌搜索与回溯算法

1. 引言

在数学领域，拉姆齐理论致力于研究大型混沌结构中有序子结构的存在性，其核心观点是“完全无序是不可能的”。该理论中有许多问题尚未解决，常见的问题形式为“某个结构需要包含多少元素才能确保特定属性成立？”。本文聚焦于拉姆齐理论中的一个具体问题：寻找弱舒尔数。

1.1 数学描述

• 舒尔数与弱舒尔数的定义 ：
  • 若一个整数集合 $P$ 中不存在元素 $x, y, z$ 满足 $x + y = z$，则称该集合为无和集。舒尔定理表明，对于 $k \geq 1$，存在一个最大的整数 $n$，使得整数区间 $[1, n]$ 可以划分为 $k$ 个无和集，这个最大整数 $n$ 被称为第 $k$ 个舒尔数，记为 $S(k)$。
  • 当进一步要求 $x, y, z$ 两两不同时，即 $x \neq y$，$y \neq z$，$x \neq z$，我们定义了弱无和集。拉多证明了，对于 $k \geq 1$，存在一个最大的整数 $n$，使得区间 $[1, n]$ 可以划分为 $k$ 个弱无和集，这个最大整数 $n$ 就是弱舒尔数，记为 $WS(k)$。
• 弱舒尔数的已知值 ：
  • 对于 $k = 1$ 和 $k = 2$，$WS(1) = 2$ 和 $WS(2) = 8$ 很容易验证。例如，当 $k = 2$ 时，$[1, 8]$ 的一个弱无和划分是 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 4, 8} \c