6、多目标优化中指标关系解析与算法实践

多目标优化中指标关系解析与算法实践

在多目标优化领域，准确评估优化器的性能至关重要。目前，主要有两种评估随机多目标优化器（MO）性能的方法： attainment函数方法和质量指标方法。然而，这两种方法之间的联系尚未得到充分挖掘。接下来，我们将深入探讨覆盖分数、完整性和超体积指标的定义、期望值，以及它们与attainment函数的关系，并介绍相关算法在动态旅行商问题和多目标优化问题中的应用。

1. 多目标优化性能评估方法

在性能评估中，多目标优化器的结果集是一次优化运行中产生的非支配解在目标空间中的映射。当优化器是随机的时，这个目标向量集是随机的，其概率分布反映了优化器在给定问题实例上的性能。

1.1 Attainment函数方法

设 $m^ $ 是 $d$ 目标优化器可能生成的非支配目标向量的最大数量。随着 $k$ 从 1 到 $m^ $ 增加，attainment函数 $\alpha_X^{(k)}: \mathbb{R}^{d\times k} \to [0, 1]$ 包含了结果集 $X$ 越来越多的分布信息，其中：
[
\alpha_X^{(k)}(z_1, \ldots, z_k) = P (X \preceq z_1 \land \ldots \land X \preceq z_k)
]
事件 ${X \preceq z} \Leftrightarrow {X_1 \leq z \lor X_2 \leq z \lor \ldots \lor X_M \leq z}$ 表示 $X$ 达到了目标 $z \in \mathbb{R}^d$（假设为最小化问题）。因此，$\alpha_X^{