5、多目标优化器性能评估指标研究

多目标优化器性能评估指标研究

1. 多目标优化器性能评估概述

随机多目标优化器（MOs）的性能评估是一个新兴的研究领域，它有助于比较现有的优化器并支持新优化器的开发。随机MO的性能通常与一次优化运行中产生的随机结果的分布行为相关，这些结果可以看作是目标空间中的随机非支配点（RNP）集，或者是相应的随机无界可达集。

在实际应用中，MO结果集的分布往往非常复杂，难以整体考虑。因此，为了进行性能评估和比较，需要确定关注的是该集合分布的哪些部分。目前，主要有两种随机MO性能评估方法，但它们之间的关系尚未得到充分利用，分别是达成函数方法和质量指标方法。

2. 性能评估方法

• 达成函数方法 ：通过一系列嵌套的、信息逐渐丰富的达成函数直接描述优化器结果的分布。其中，一阶达成函数与结果集分布的位置和散布有关，二阶及更高阶的达成函数则处理相应的点间依赖结构。不过，由于计算困难，三阶及更高阶的达成函数在实践中尚未得到广泛应用。
  • 达成函数定义：设$m^*$是$d$目标优化器可能生成的非支配目标向量的最大数量，达成函数$\alpha_{X}^{(k)}: \mathbb{R}^{d\times k} \to [0, 1]$定义为$\alpha_{X}^{(k)}(z_1, \ldots, z_k) = P (X \preceq z_1 \land \ldots \land X \preceq z_k)$，其中事件$X \preceq z$表示$X$中的至少一个元素弱支配目标$z$。
  • 估计方法：可以从独立同分布的RNP集样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$中通