48、密码学中签名协议与随机指数算法的安全与效率分析

密码学中签名协议与随机指数算法的安全与效率分析

阈值Schnorr签名协议的安全与效率

在密码学领域，阈值签名协议是保障信息安全的重要工具。Pedersen的分布式密钥生成协议（Ped - DKG）虽不能生成均匀分布的秘密密钥，但足以支持基于它实现的阈值Schnorr签名协议（TSch）的安全性。这相较于之前的方法是一种改进，因为之前基于离散对数的方案需使用Gennaro等人的DKG协议，该协议需要两轮广播，而Ped - DKG仅需一轮。

然而，TSch协议的安全归约与离散对数问题（DLP）的安全性相比，存在$q_{H}^{2}$的安全降级因子。与Schnorr签名的集中式版本的可证明安全性相比，有$q_{H}$的降级因子。这种安全降级可从两个角度理解：
- 启发式观点 ：可忽略降级，认为从某个方案到DLP的多项式归约的存在就意味着该方案可在DLP被认为困难的域中安全实现，但这只是一种启发式论证。
- 正式观点 ：从某个方案到DLP的安全归约存在降级因子$f$，意味着若将$b$作为目标安全边界，即要声称构造的方案能抵御执行约$b$次操作的对手，就需使用一个DLP被认为能抵御执行约$b·f$次操作的对手的群。因此，TSch方案效率较低的归约意味着它应在更大的域上实现，以保证相同的安全边界。

具体来说，若将$b = 2^{80}$作为目标安全边界，且假设$q_{H}≈2^{80}$，Schnorr签名可在至少具有$2^{80}·2^{80} = 2^{160}$ DLP安全性的群中安全运行。由于gjkr - TSch方案到Schnorr签名的安全归约是紧密的，所以gjkr - TSch方案在相同的$2^{160}$ - DLP群中是安全的。而TSch方案则需在具有$2^{80} · 2^{160} = 2^{240}$ DLP安全性的群中才安全。

在计算成本方面，指数模幂运算的成本与安全参数相关。在经典数域设置中，安全参数增长因子$\alpha$意味着模数$p$的大小增长$\alpha^{3}$，模数$q$的大小增长$\alpha$，因此指数运算的总成本增长约$\alpha · (\alpha^{3})^{1.6} = \alpha^{5.8}$。对于椭圆曲线，$p$和$q$的大小都增长$\alpha$，指数运算的总成本仅增长$\alpha^{2.6}$。

以[Wei00]的性能表为参考，在Celeron 850 MHz上，数域中$|p| = 1024$和$|q| = 160$的指数运算需2 ms，168位椭圆曲线上的指数运算需5 ms。假设在两种设置中DLP的安全参数为80。对于具有$n = 7$个参与者的阈值系统，在标准数域设置中，TSch协议每个参与者的计算时间约为$11 · 3^{5.8} · 2ms = 12.8s$，而gjkr - TSch协议每个参与者的计算时间仅约为$18 · 2^{5.8} · 2ms = 2s$。在这种情况下，gjkr - TSch方案更优，因为TSch的计算成本超过了gjkr - TSch因多一轮广播带来的通信延迟。

在椭圆曲线设置中，若参与者分布在互联网上，TSch方案可能比gjkr - TSch稍快，但在局域网中可能并非如此。若将归约视为启发式论证，认为TSch阈值Schnorr签名方案在DLP安全参数为80的域中也能实现相同的安全参数，那么TSch方案将优于gjkr - TSch，因为其计算时间更短，通信延迟也更小。

下面通过表格对比TSch和gjkr - TSch在不同场景下的性能：
| 场景 | TSch计算时间 | gjkr - TSch计算时间 | 通信延迟对比 | 更优方案 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 标准数域（n = 7） | 12.8s | 2s | TSch计算成本超gjkr - TSch广播延迟 | gjkr - TSch |
| 椭圆曲线（互联网） | 可能稍快 | - | - | 可能TSch |
| 椭圆曲线（局域网） | - | - | - | 可能gjkr - TSch |
| 启发式论证情况 | 55ms | 90ms | TSch通信延迟小 | TSch |

Mist随机指数算法分析

在智能卡加密和签名应用中，为增强对侧信道泄漏攻击的抗篡改能力，常使用随机化算法，Mist算法就是其中之一。与经典的m - 进制和滑动窗口指数算法类似，Mist算法可利用公钥模数的最高有效半部分信息，将从Mist侧信道跟踪中恢复秘密密钥所需猜测的密钥位数减半。通过格基方法，可进一步将其减少到仅四分之一的最低有效位。

Mist算法是一种随机进制指数算法，与m - 进制指数算法非常相似，但它反转了处理私钥$D$的数字的顺序，并且每个数字选择的基数$m$是随机变化的。其具体算法如下：

The Mist Exponentiation Algorithm
{ Pre - condition: D ≥0 }
Q ←C ;
P ←1 ;
While D > 0 do
Begin
    Choose a random base m from set S ;
    d ←D mod m ;
    If d ̸= 0 then P ←Qd×P mod N ;
    Q ←Qm mod N ;
    D ←D div m ;
    { Loop invariant: CD.Init = QD× P mod N }
End ;
{ Post - condition: P = CD.Init mod N }

攻击者可通过侧信道泄漏提取秘密密钥$D$。假设攻击者能从单次指数运算中提取数据，以确定哪些操作是平方运算，哪些是乘法运算，或者哪些操作共享一个参数。根据相关定理：
- 定理1 ：若能区分平方和乘法，但不能区分操作数的个体重用，对于给定的参数选择，能生成与给定$D$相同的平方和乘法序列的指数的平均数量下限为$D^{3/5}$。
- 定理2 ：对于给定的参数选择，具有与给定$D$相同操作数共享模式的指数运算方案的指数的平均数量约为$D^{1/3}$。

这些定理通过计算$(m, d)$对的选择数量来确定。例如，$(2,1)$和$(3,0)$的加法链具有相同的操作数共享模式和平方与乘法序列，每次出现这种模式时，对$D$的选择就会产生歧义，从而使正确$D$的搜索空间有效翻倍。

若数字和基数按生成顺序从0到$n - 1$索引，有以下关系：
$D_{0} = D$
$d_{i} \equiv D_{i} \mod m_{i}$
$D_{i + 1} = D_{i} \div m_{i}$
$d_{n - 1} \neq 0$
$D_{n} = 0$
$D_{i} = m_{i}D_{i + 1} + d_{i}$
$D = ((… (d_{n - 1}m_{n - 2} + d_{n - 2}) …)m_{1} + d_{1})m_{0} + d_{0}$

还有一些相关量：
$\mu_{i} = \prod_{j = 0}^{i - 1} m_{j}$
$\delta_{i} = ((… (d_{i - 1}m_{i - 2} + d_{i - 2}) …)m_{1} + d_{1})m_{0} + d_{0}$
满足$\delta_{i} \equiv D \mod \mu_{i}$，$D_{i} = D \div \mu_{i}$，$D = \mu_{i}D_{i} + \delta_{i}$

这些结果可用于减少通过侧信道泄漏部分揭示的密钥的搜索空间。尽管结论表明对于标准密钥长度，破解密钥的计算努力仍然不可行，但仍需保持警惕。密钥盲化或至少1024位的密钥对于良好的抗篡改能力似乎仍然是必要的。

下面是Mist算法的流程示意图：

graph TD;
    A[开始] --> B[Q ← C, P ← 1];
    B --> C{D > 0?};
    C -- 是 --> D[选择随机基数m];
    D --> E[d ← D mod m];
    E --> F{d ≠ 0?};
    F -- 是 --> G[P ← Q^d × P mod N];
    F -- 否 --> H[无操作];
    G --> I[Q ← Q^m mod N];
    H --> I;
    I --> J[D ← D div m];
    J --> C;
    C -- 否 --> K[结束];

综上所述，无论是阈值Schnorr签名协议还是Mist随机指数算法，在安全与效率之间都需要进行权衡。在实际应用中，需根据具体的场景和需求，选择合适的算法和参数，以达到最佳的安全和性能平衡。

密码学中签名协议与随机指数算法的安全与效率分析

不同场景下算法选择的深入探讨

在实际的密码学应用中，选择合适的算法和参数至关重要。对于阈值Schnorr签名协议，TSch和gjkr - TSch在不同场景下各有优劣。

从安全角度来看，TSch协议虽然在安全归约上存在一定的降级，但如果能通过启发式论证来实现安全目标，其在计算时间和通信延迟方面具有优势。然而，为了保证足够的安全性，需要在更大的域上实现，这会增加计算成本。gjkr - TSch协议的安全归约更紧密，但需要两轮广播，增加了通信成本。

从效率角度来看，在标准数域设置中，gjkr - TSch的计算时间明显短于TSch，因此更具优势。在椭圆曲线设置中，网络环境对算法的选择影响较大。在互联网环境下，TSch可能因为其计算和通信的综合优势而更合适；在局域网环境下，gjkr - TSch可能更胜一筹。

以下是不同场景下选择算法的考虑因素列表：
1. 安全要求 ：如果对安全性要求极高，且能承受较大的计算成本，可考虑在更大域上实现TSch。如果希望安全归约更紧密，可选择gjkr - TSch。
2. 网络环境 ：互联网环境下，通信延迟较大，TSch的一轮广播优势可能更明显；局域网环境下，通信延迟小，gjkr - TSch的计算优势可能更突出。
3. 计算资源 ：如果计算资源有限，gjkr - TSch的计算时间短的优势会更重要；如果计算资源充足，可根据安全和通信需求选择。

Mist算法的威胁模型与应对策略

Mist算法虽然在一定程度上增强了对侧信道泄漏攻击的抗篡改能力，但仍然面临一些挑战。

从威胁模型来看，侧信道泄漏是主要威胁。攻击者可以通过分析指数运算过程中的功率使用、电磁泄漏等信息来获取部分密钥信息。即使Mist算法通过随机选择基数和反转处理顺序增加了攻击的难度，但攻击者仍然可以利用公钥模数的信息和部分随机数域的数字来缩小密钥的搜索空间。

为了应对这些威胁，可采取以下策略：
1. 密钥盲化 ：对私钥进行盲化处理，增加攻击者获取真实密钥的难度。
2. 增加密钥长度 ：使用至少1024位的密钥，提高密钥的安全性。
3. 结合其他防护措施 ：如使用物理防护措施减少侧信道泄漏的可能性。

下面通过表格展示Mist算法的威胁与应对策略：
| 威胁 | 描述 | 应对策略 |
| ---- | ---- | ---- |
| 侧信道泄漏 | 攻击者通过功率使用、电磁泄漏等获取部分密钥信息 | 密钥盲化、增加密钥长度、结合物理防护措施 |
| 部分密钥信息利用 | 攻击者利用公钥模数和部分随机数域数字缩小搜索空间 | 增加密钥长度、优化算法参数 |

未来研究方向

密码学领域的研究不断发展，对于阈值Schnorr签名协议和Mist算法，未来还有许多值得探索的方向。

对于阈值Schnorr签名协议，可进一步研究如何降低安全归约的降级因子，提高TSch协议在安全和效率方面的综合性能。同时，可以探索新的分布式密钥生成协议，以减少通信成本和计算成本。

对于Mist算法，可研究如何进一步优化随机数域的选择和处理方式，提高算法对侧信道泄漏的抗性。还可以结合其他密码学技术，如零知识证明，增强算法的安全性。

以下是未来研究方向的列表：
1. 阈值Schnorr签名协议 ：降低安全归约降级因子、探索新的分布式密钥生成协议。
2. Mist算法 ：优化随机数域选择和处理方式、结合其他密码学技术增强安全性。

下面是未来研究方向的流程图：

graph LR;
    A[阈值Schnorr签名协议研究] --> B[降低安全归约降级因子];
    A --> C[探索新的分布式密钥生成协议];
    D[Mist算法研究] --> E[优化随机数域选择和处理方式];
    D --> F[结合其他密码学技术增强安全性];

总之，密码学中的签名协议和随机指数算法在安全与效率的平衡上需要不断探索和优化。通过深入研究不同算法的特点和适用场景，以及采取有效的应对策略和探索未来研究方向，可以更好地保障信息安全。