37、线性代数与矩阵及化学和生物系统中的分岔、不稳定性与混沌

线性代数与矩阵及化学和生物系统中的分岔、不稳定性与混沌

1. 线性代数与矩阵基础

1.1 矩阵特征值

某些矩阵仅有复特征值，例如矩阵 (A = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0\end{pmatrix})，其特征值为 (i = \sqrt{-1}) 和 (-i \in \mathbb{C})。不过，一些实矩阵类仅有实特征值和对应的实特征向量。复特征值和特征向量的复杂性源于代数基本定理，该定理表明实多项式和复多项式的所有根都只能在复平面 (\mathbb{C}) 中找到。

部分矩阵在复数域 (\mathbb{C}) 上可对角化，即它们有一组（可能是复数的）特征向量构成的基，这些矩阵可通过矩阵相似性进行对角化。例如，所有具有 (n) 个不同特征值的 (n\times n) 矩阵都满足这一条件，因为不同特征值对应的特征向量是线性无关的。而像 (\begin{pmatrix}2 & 3 \ 0 & 2\end{pmatrix}) 这样的矩阵则不可对角化。

1.2 正交基、正规矩阵与舒尔标准型

标准单位向量基 (E = {e_1, e_2, \ldots, e_n}) 具有两个特性：其向量 (e_i) 相互正交且长度为 1，这样的基被称为正交基。子空间的任何基都可以通过格拉姆 - 施密特（Gram - Schmidt）过程正交化为正交基（ONB）。

(\mathbb{R}^n) 或 (\mathbb{C}^n) 子空间的正交基 (U = {u_1, u_2, \ldots, u_k}) 会产生一个矩阵 (U_{n,k})，其列向量为 (u_i)。在实情况下满足 (U