5、基于相似度的学习：核方法与聚类分析

基于相似度的学习：核方法与聚类分析

在机器学习领域，基于相似度的学习方法是非常重要的一部分，其中核方法和聚类分析是两个关键的技术。下面将详细介绍核方法的相关概念、分类器、函数、归一化、通用算法以及多核学习，同时也会探讨聚类分析的基本概念和常见算法。

核方法基础概念

核方法是机器学习中一种强大的工具，它通过将数据映射到高维特征空间，使得原本在低维空间中非线性的关系在高维空间中变得线性可分。在介绍核方法之前，我们需要了解一些基本的数学概念。

对于一个方阵 $A$，如果存在实数 $\lambda$ 和非零向量 $x$，使得 $Ax = \lambda x$，那么 $\lambda$ 就是 $A$ 的一个特征值，$x$ 就是对应的特征向量。如果 $A^T = A$（$A^T$ 表示 $A$ 的转置），则称 $A$ 为对称矩阵。若对称矩阵的所有特征值都非负，则该矩阵为半正定矩阵。

命题 1 ：核矩阵是半正定的。

有限半正定函数的定义如下：
定义 5 ：设函数 $k: X \times X \to \mathbb{R}$，如果它是对称函数，并且对于空间 $X$ 的任意有限子集所构成的矩阵都是半正定的，那么 $k$ 满足有限半正定性质。

下面的定理给出了核函数的特征：
定理 1 ：一个连续或者定义域有限的函数 $k: X \times X \to \mathbb{R}$，当且仅当它满足有限半正定性质时，它可以分解为一个特征映射 $\varphi$ 作用于其两个参数，然后在希尔伯特空间 $F$ 中计算内积