支持向量机(SVM)之线性分类

  支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是曾经打败神经网络的分类方法，从90年代后期开始在很多领域均有举足轻重的应用，近年来，由于深度学习的兴起，SVM的风光开始衰退，但是其仍然不失为一种经典的分类方法。SVM最初由 Vladimir N. Vapnik 和 Alexey Ya. Chervonenkis于1963年提出，之后经过一系列改进，现今普遍使用的版本由Corinna Cortes 和 Vapnik于1993年提出，并在1995年发表[1]。深度学习兴起之前，SVM被认为是机器学习近几十年来最成功、表现最好的方法。

1. 间隔最大化

  本文讨论线性可分的支持向量机，详细推导其最大间隔和对偶问题的原理。简单起见，以二分类为例，如下图，设训练集为D={(x1,y1),...,(xn,yn)}D=\{(\boldsymbol{x}_1,y_1),...,(\boldsymbol{x}_n,y_n)\}D={(x1​,y1​),...,(xn​,yn​)}，蓝色圆点为一类，红色方块为另一类，分类的目标是寻找一个超平面，将两类数据分开。在二维平面中，分类超平面就是一条直线，从图中可以看出，能将训练样本分开的超平面有很多可能(图中绿色虚线)，超平面除了要将训练集中的数据分开，还要有较好的泛化性能，需要把测试集中的数据也划分开。从直观上看，绿色实线是比较好的一个划分，因为该直线距离两类数据点均较远，对于数据局部扰动的容忍性较好，能够以较大的置信度将数据进行分类。

  所以，距离两类数据点间隔最大的超平面为最好的分类面，两类数据点距离超平面的间隔(margin)如下图，假设图中两条虚线的表达式为${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b=-1$和${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b=1$ (为什么等号右边为1？因为若${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b=c$，令$\mathbf{w}=\mathbf{w}/c$，$b=b/c$即可，$\mathbf{w}$和$b$是要学习的参数，其大小是随等式右边的常数变化的)，那么，中间分类面的表达式为${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b=0$。为方便计算，将两类数据的标签设为$\pm 1$，蓝色圆点为$y=-1$，红色方块为$y=1$，如果分类超平面能将两类数据正确分类，那么就有
  $\{\begin{array}{ll}{\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b\ge 1& y_i=1\\ {\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b\le -1& y_i=-1\end{array}$

并且两类数据到超平面的距离之和，也就是间隔为：
  $\frac{2}{||\mathbf{w}||}$

  要找到间隔最大的超平面，就是使$\frac{2}{||\mathbf{w}||}$最大，也即$\frac{1}{2}{||\mathbf{w}||}^2$最小，同时满足
  $\{\begin{array}{ll}{\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b\ge 1& y_i=1\\ {\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b\le -1& y_i=-1\end{array}$

这个需要满足的条件可简化为$y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1$，最终，寻找具有最大间隔的划分超平面转化为一个有约束的最优化问题
  $min\frac{1}{2}||\mathbf{w}|{|}^2$
  $s.t.y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1,i=1,\cdots ,n$
其中，约束里的等号在上图中绿色虚线穿过的点处成立，这些点距离超平面最近，被称为“支持向量”(Support Vector)，后面我们会看到，分类超平面仅由支持向量决定，这就是线性可分支持向量机的基本模型。

2. 对偶问题

  为了求解上述有约束的最优化问题，应用拉格朗日对偶性，通过求解对偶问题(dual problem)得到原始问题(primal problem)的最优解，这样求解的优点是：1. 对偶问题通常更容易求解，2. 自然引入核函数，进而推广到非线性分类的情况[2]。

2.1 拉格朗日对偶性

  首先给出原始问题，设$f(x)$，$c_i(x)$，$h_j(x)$是定义在${\mathbf{R}}^n$上的连续可微函数，给定如下原始问题
   $\underset{x}{\min }f(x)$
   $\text{s.t. }{c}_i(x)\le 0,i=1,2,...,k$
   $h_j(x)=0,j=1,2,...,l$
其拉格朗日函数(Lagrange function)为
   $L(x,\alpha ,\beta )=f(x)+\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{c}_i(x)+\sum _{j=1}^l{\beta }_j{h}_j(x)$
其中，${\alpha }_i$，${\beta }_j$为拉格朗日乘子，并且${\alpha }_i\ge 0$，考虑$x$的函数
  ${\theta }_P(x)=\underset{\alpha ,\beta ;{\alpha }_i\ge 0}{\max }L(x,\alpha ,\beta )$
如果$x$违反原问题的约束条件，即存在i∈{1,...,k}i \in \{1,...,k\}i∈{1,...,k}使得$c_i(x)>0$或者存在j∈{1,...,l}j \in \{1,...,l\}j∈{1,...,l}使得$h_j(x)̸=0$，那么就可以令${\alpha }_i\to +\infty$，或者令${\beta }_j{h}_j(x)\to +\infty$，从而
  ${\theta }_P(x)=\underset{\alpha ,\beta ;{\alpha }_i\ge 0}{\max }[f(x)+\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{c}_i(x)+\sum _{j=1}^l{\beta }_j{h}_j(x)]=+\infty$
相反，如果$x$满足原问题的约束条件，则可令${\alpha }_i=0$，${\beta }_j=0$，使得${\theta }_P(x)=f(x)$
因此有
   ${\theta }_P(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& x\text{满足原始问题约束}\\ +\infty & x\text{违反原问题约束}\end{array}$
所以，原问题就可以转化为最小化${\theta }_P(x)$，即
  $\underset{x}{\min }{\theta }_P(x)=\underset{x}{\min }\underset{\alpha ,\beta ;{\alpha }_i\ge 0}{\max }L(x,\alpha ,\beta )$
该问题取最小值时，$x$是满足原始问题的约束的。接下来构造其对偶问题，首先定义$\alpha$和$\beta$的函数
  ${\theta }_D(\alpha ,\beta )=\underset{x}{\min }L(x,\alpha ,\beta )$
再对上式最大化
  $\underset{\alpha ,\beta ;{\alpha }_i\ge 0}{\max }{\theta }_D(\alpha ,\beta )=\underset{\alpha ,\beta ;{\alpha }_i\ge 0}{\max }\underset{x}{\min }L(x,\alpha ,\beta )$
将该式表示有约束的最优化问题就得到了原始问题的对偶问题：
  $\underset{\alpha ,\beta }{\max }{\theta }_D(\alpha ,\beta )=\underset{\alpha ,\beta }{\max }\underset{x}{\min }L(x,\alpha ,\beta )$
  $\text{s.t. }{\alpha }_i\ge 0,i=1,...,k$
  那么原始问题和对偶问题的解存在什么关系呢？记原始问题的最优值为$p^{\ast }=\underset{x}{\min }{\theta }_P(x)$，对偶问题的最优值为$d^{\ast }=\underset{\alpha ,\beta ;{\alpha }_i\ge 0}{\max }{\theta }_D(\alpha ,\beta )$，那么有$d^{\ast }\le p^{\ast }$，此处不再证明，可简单理解为(最大值中的最小值)大于等于(最小值中的最大值)。在什么条件下等号成立呢？这个条件就是强对偶(strong duality)，并且在强对偶前提下，如果$x^{\ast }$和${\alpha }^{\ast }$, ${\beta }^{\ast }$分别是原始问题和对偶问题的可行解，则$x^{\ast }$和${\alpha }^{\ast }$, ${\beta }^{\ast }$ 分别是原始问题和对偶问题的最优解，此时可以用解对偶问题替代解原始问题。但是强对偶条件是一个比较严格的约束，一般情况下无法满足，如果原问题满足一定的条件，就比较容易达到强对偶，这些条件就叫做约束规范 (constraint qualifications)。适用于SVM的约束规范是Slater条件，即原问题是一个凸优化问题（$f(x)$和$c_i(x)$均是凸函数），并且存在$x$，使所有的等式约束成立，不等式约束严格成立（$c_i(x)<0$）。在满足这些条件的前提下，有学者提出了$x^{\ast }$和${\alpha }^{\ast }$, ${\beta }^{\ast }$分别是原始问题和对偶问题的最优解的充分必要条件：KKT条件(Karush–Kuhn–Tucker conditions)
  1. $c_i(x^{\ast })\le 0,h_j(x^{\ast })=0,i=1,...,k,j=1,...,l$
  2. $\nabla f(x^{\ast })+\sum _{i=1}^k{\alpha }_i\nabla c_i(x^{\ast })+\sum _{j=1}^l{\beta }_j\nabla h_j(x^{\ast })=0$
  3. ${\alpha }_i\ge 0,{\alpha }_i{c}_i(x^{\ast })=0,{\beta }_j̸=0$
其中，${\alpha }_i{c}_i(x^{\ast })=0$称为KKT的互补松弛条件(Complementary slackness)，由此可知，若${\alpha }_i>0$，则必有$c_i(x^{\ast })=0$

2.2 SVM的对偶问题

  回顾一下SVM的原问题，
  $min\frac{1}{2}||\mathbf{w}|{|}^2$
  $s.t.y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1,i=1,\cdots ,n$
构造拉格朗日函数：
  $L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda })=\frac{1}{2}{\mathbf{w}}^T\mathbf{w}+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(1-y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)),{\lambda }_i\ge 0$
可以将原问题等价为：
  $\underset{\mathbf{w},b}{\min }{\theta }_P(\mathbf{w},b)=\underset{\mathbf{w},b}{\min }\underset{\mathbf{\lambda };{\lambda }_i\ge 0}{\max }L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda })$
易知，原问题满足Slater条件，所以也满足KKT条件，可以将原问题转化为对偶问题进行求解，即求
  $\underset{\mathbf{\lambda }}{\max }{\theta }_D(\mathbf{\lambda })=\underset{\mathbf{\lambda }}{\max }\underset{\mathbf{w},b}{\min }L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda })$
  $\text{s.t. }{\lambda }_i\ge 0,i=1,...,n$
首先求内部的项$\underset{\mathbf{w},b}{\min }L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda })$，令$L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda })$ 对$\mathbf{w}$和$b$的导数为0

$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{w}}=\mathbf{w}-\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i=0$

$\frac{\partial L}{\partial b}=-\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i=0$

因此有$\mathbf{w}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i$，并且$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i=0$。把$\mathbf{w}$代入$L(\mathbf{w},b,\mathbf{\lambda })$得

$\begin{array}{rl}L(\mathbf{\lambda })& =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i^T\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{y}_j{\mathbf{x}}_j+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(1-y_i(\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{y}_j{{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}}^T{\mathbf{x}}_i+b))\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j-\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_{i}b\\ & =-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\end{array}$

该问题转化成只包含$\mathbf{\lambda }$的最优化问题，求出$\mathbf{\lambda }$就可以求出$\mathbf{w}$和$b$。将$L(\mathbf{\lambda })$取负数，把最大化转化为最小化
  $\underset{\mathbf{\lambda }}{\min }L(\mathbf{\lambda })=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j^T-\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  $s.t.{\lambda }_i\ge 0,\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i=0,i=1,...,n$
该问题为二次规划问题，存在全局最优解，设最优解为$\mathbf{\lambda }=({\lambda }_1^{\ast },...,{\lambda }_n^{\ast })$，那么就可以计算原始问题的最优解${\mathbf{w}}^{\ast }=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^{\ast }{y}_i{\mathbf{x}}_i$。
由KKT的对偶松弛条件可知，如果${\lambda }_i^{\ast }̸=0$，则有$1-y_i({{\mathbf{w}}^{\ast }}^T{\mathbf{x}}_i+b)=0$，由于y∈{+1,−1}y \in \{+1, -1\}y∈{+1,−1}，因此
  $b^{\ast }=y_i-{{\mathbf{w}}^{\ast }}^T{\mathbf{x}}_i=y_i-\sum _{j=1}^n{\lambda }_j^{\ast }{y}_j{\mathbf{x}}_j^T{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$
  在预测阶段，对于新数据点$\mathbf{z}$，计算
  $\hat{y}={{\mathbf{w}}^{\ast }}^T\mathbf{z}+b^{\ast }=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^{\ast }{y}_i{\mathbf{x}}_i^T\mathbf{z}+b^{\ast }$
如果$\hat{y}>0$，则将$\mathbf{z}$分为正类，否则分为负类。

3. SVM进一步分析

  等式$1-y_i({{\mathbf{w}}^{\ast }}^T{\mathbf{x}}_i+b)=0$对应的是下图中分类超平面两侧的虚线，再向两侧延伸，就会有$1-y_i({{\mathbf{w}}^{\ast }}^T{\mathbf{x}}_i+b)\le 0$，由于${\lambda }_i^{\ast }(1-y_i({{\mathbf{w}}^{\ast }}^T{\mathbf{x}}_i+b))=0$，所以，对于两条虚线外侧的点，其对应的${\lambda }_i=0$。事实上，只有少数的点会落在分类超平面两侧的虚线上，这些点是距离分类超平面最近的点，被称为支持向量。由${\mathbf{w}}^{\ast }=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^{\ast }{y}_i{\mathbf{x}}_i$和$b^{\ast }=y_i-\sum _{j=1}^n{\lambda }_j^{\ast }{y}_j{\mathbf{x}}_j^T{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$可知，分类超平面仅由支持向量来决定，所以支持向量机具有较高的稀疏性。

  支持向量机建立问题的思路是找到距离分类超平面最近的点，通过最大化这些点之间的间隔来求解，间隔最大化的平面具有较高的鲁棒性。

[1] Cortes C, Vapnik V. Support-vector networks. Machine learning. 1995 Sep 1;20(3):273-97.
[2] 李航. 统计学习方法，清华大学出版社，2012.