连续型随机变量

分布函数与密度函数

设分布函数$F(x)$，则密度函数$f(x)$定义为

$$F(x)=\int ^x _{-∞}f(t) \mathrm dt$$
密度函数两条基本性质

• 非负性：$\forall x, f(x)≥0$
• 正则性：$\int ^{+∞}_{-∞}f(x)\mathrm dx=1$

密度函数上改变有限个点并不影响。

求连续随机变量函数的分布

以一个例子说明求连续随机变量函数的分布：
例：设连续随机变量$X$的概率密度函数

$$f_X(x)=\begin{cases} 0 &x<0 \\ 2x^3e^{-x^2} & x≥0 \end{cases}$$ 分别求$Y=2X+3$，$Y=X^2$的概率密度函数。
解：$Y=2X+3$：

$$\begin{equation}\begin{split} f_Y(y)&=[F_Y(y)]'\\ &=[P(Y≤y)]'\\ &=[P(2X+3≤y)]'\\ &=[P(X≤\dfrac{y-3}{2})]' \end{split}\end{equation}$$
当$\dfrac{y-3}{2}≤0$时，$y≤3$时，明显$P(X≤\dfrac{y-3}{2})=0$，因此$f_Y(y)=0$；
当$y>3$则有
$$\begin{equation}\begin{split} f_Y(y)&=[F(\dfrac{y-3}{2})]'\\ &=[\int_{-∞}^{(y-3)/2}f_X(x) \mathrm dx)]'\\ &=f_X(\dfrac{y-3}{2})·(\dfrac{y-3}{2})'\\ &=(\dfrac{y-3}{2})^3 \mathrm e^{-((y-3)/2)^2} \end{split}\end{equation}$$
因此， $$f_Y(y)=\begin{cases} 0 &y≤3\\ (\dfrac{y-3}{2})^3 \mathrm e^{-((y-3)/2)^2} & y>0 \end{cases}$$
$Y=X^2$：
$$\begin{equation}\begin{split} f_Y(y)&=[F_Y(y)]'\\ &=[P(Y≤y)]'\\ &=[P(X^2≤y)]'\\ \end{split}\end{equation}$$
当$y≤0$时，$P(X^2≤y)=0$，$f_Y(y)=0$
当$y>0$时
$$\begin{equation}\begin{split} f_Y(y)&=[P(-\sqrt y≤X≤\sqrt y)]'\\ &=[F(\sqrt y)-F(-\sqrt y)]'\\ &=[\int^{\sqrt y}_{-∞}f_X(x)\mathrm dx - \int ^{-\sqrt y}_{-∞}f_X(x)\mathrm dx]'\\ & =(\sqrt y)'·f_X(\sqrt y)-(-\sqrt y)' ·f_X(-\sqrt y)\\ &= y\mathrm e^{-y} \end{split}\end{equation}$$
因此， $$f_Y(y)=\begin{cases} 0 &y≤0\\ y\mathrm e^{-y} & y>0 \end{cases}$$

解此类题，经常会用到一条变上限函数求导的性质

$$[\int_{-∞}^xf(t)\mathrm dt]'=f(x)$$

数学期望与方差

如果连续随机变量$X$的密度函数$f_X(x)$满足$\int^{+∞}_{-∞}|x|f(x) \mathrm dx$收敛，那么期望

$$E(X)=\int^{+∞}_{-∞}xf(x) \mathrm dx$$
求期望务必先判断是否收敛。
函数$Y=g(X)$的期望
$$E(Y)=E(g(x))=\int^{+∞}_{-∞}g(x)f(x)\mathrm dx$$
连续型随机变量的方差$D(X)$依然满足
$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$
对于连续的随机变量$X$,$Y=aX+b$，则有$E(Y)=aE(X)+b$，$D(Y)=a^2D(X)$。