最长回文子串算法Manacher详解

最长回文子串算法Manacher详解

完整代码如下：

class Solution {
public:
    //manacher算法
    void manacher(string& s, int n, vector<int>& mp){
        string ms = "";
        ms += "$#";
        //预处理
        for(int i = 0; i < n; i++){
            //使之都变成奇数回文子串
            ms += s[i];
            ms += '#';
        }
        //目前已知的最长回文子串的最右一位的后一位
        int maxpos = 0;
        //当前的最长回文子串的中心点
        int index = 0;
        for(int i = 0; i < ms.length(); i++){
            mp[i] = maxpos > i ? min(mp[2 * index - i], maxpos - i) : 1;
            //两边扫
            while(ms[i + mp[i]] == ms[i - mp[i]])
                mp[i]++;
            //更新位置
            if(i + mp[i] > maxpos){
                maxpos = i + mp[i];
                index = i;
            }
        }
    }
    int getLongestPalindrome(string A) {
        int n = A.length();
        //记录回文子串长度
        vector<int> mp(2 * n + 2);
        manacher(A, n, mp);
        int maxlen = 0;
        //遍历数组
        for(int i = 0; i < 2 * n + 2; i++)
            //找到最大的长度
            maxlen = max(maxlen, mp[i] - 1); 
        return maxlen;
    }
};

算法概述

Manacher算法通过巧妙地利用回文串的对称性质，避免了重复计算，从而实现了线性时间复杂度。算法的核心思想是维护一个"当前已知的最右回文边界"和对应的中心点，利用对称性快速计算新位置的回文半径。

预处理阶段

string ms = "";
ms += "$#";
//预处理
for(int i = 0; i < n; i++){
    //使之都变成奇数回文子串
    ms += s[i];
    ms += '#';
}

作用：

原始字符串中，回文子串可能是奇数长度或偶数长度。预处理将它们统一转换为奇数长度处理。

插入特殊字符（如’#'）作为分隔符，例如"abc"变成"#a#b#c#"。

开头添加"$"是为了避免边界检查。

示例：
原始字符串 “aba” 预处理后变成 “$#a#b#a#”

主算法部分

int maxpos = 0;  // 当前已知的最长回文子串的最右边界
int index = 0;   // 对应的中心点

for(int i = 0; i < ms.length(); i++){
    // 关键步骤：确定当前点的初始回文半径
    mp[i] = maxpos > i ? min(mp[index - (i-index)], maxpos - i) : 1;
    
    // 中心扩展
    while(ms[i + mp[i]] == ms[i - mp[i]])
        mp[i]++;
    
    // 更新最右边界和中心点
    if(i + mp[i] > maxpos){
        maxpos = i + mp[i];
        index = i;
    }
}

关键变量：

mp[i]：记录以i为中心的最长回文子串的半径（包括中心点），每一轮循环结束mp[i]就确定好了

maxpos：当前已知的最右回文边界，说明此时已经有某个处理完的回文字串的右边界在这里

index：对应此时maxpos的回文中心

算法步骤：

1.初始半径确定：

mp[2 * index - i]是i关于index的对称点的半径，即为mp[index - (i-index)]

maxpos - i是i到maxpos的距离

取两者较小值作为初始半径（因为不能超过已知的回文范围）

如果i在maxpos的左侧，说明已经当前下标为i的ms元素已经在前面以index为中心半径为mp[index]的回文子串中。那么可以利用对称性快速获得初始半径：我们只需要找到它关于index对称的那一点的回文半径mp[index - (i-index)]就是这一点的回文半径了。但要注意，万一maxpos - i小于mp[index - (i-index)]，说明和ms[i]关于index对称的那一点的回文半径比它到index边界距离还大，这样的话，这一点的部分回文元素就不在以index为中心，半径为mp[index]的范围内。这样我们就只能获取部分半径，但比1大已经很好了。

2.中心扩展：

从初始半径开始，向两边扩展，检查字符是否相同

每发现一对相同的字符，半径加1

3.更新边界：

如果当前回文串的右边界超过了maxpos，更新maxpos和index

结果提取

int maxlen = 0;
for(int i = 0; i < 2 * n + 2; i++)
    maxlen = max(maxlen, mp[i] - 1); 
return maxlen;

mp[i] - 1得到的是原始字符串中的实际回文长度

遍历所有位置，找出最大的回文长度

为什么这个算法有效？

对称性利用：当一个回文串包含在另一个更大的回文串中时，它的对称点也会有相似的回文性质。

线性时间：每个字符最多被比较两次（一次在确定初始半径时，一次在扩展时），所以时间复杂度是O(n)。