背包问题

感谢AK龙，下面是大佬关于背包问题的链接，我只是把每一个小问题详细的分析了一遍
https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41162823/article/details/87878853

1、01背包问题

由于小组讨论，换了些名词，背包->用来上课的时间，物品->课程，其他完全一致…

问题描述

选课问题，考虑有N节课，数组t[i](i = 0…N)表示第i节课的时长，s[i](i = 0…N)表示第i节课的学分，1…i…N节课有先后顺序，但如果不选第i节课，而选了第j节课（j>i），则可以直接上第j节课。我们最多能有T的时间来上课。考虑每一节课只能被选一次的情况下，如何获得最大的学分。

状态表示

变量:n:课程数 t:用于上课的时间 f(n,t):最大学分
我们用上述问题中的规模来表示当前状态，并给出一个三元列表(n,t,f(n,t))。

• n表示在前n节课中选择
• t表示用来上课的时间
• f(n,t)是此种情况下的最大学分。

初始状态(1,0…T,f(1,1…T)): 1表示只有前面1节课可以被选择，0…T表示可能拥有T+1种不同长度的时间用来上课，f(1,0…T)表示这T+1种情况下获得的最大学分。

目标状态(N,T,f(N,T)): 表示考虑前N节(所有)课程，用来上课的时间为T，此时可以获得最大的学分为f(N,T)。这样设定状态是出自动态规划思想。当需要计算f(N,T)时，如果不选择第N节课，则问题不需要考虑第N节课了，问题会变成计算f(N-1,T)。否则，选择第N节课，则问题变成计算拥有T-t[N]的时间来上课，从 前N-1节课里选课所获得的最大学分，加上第N节课带来的学分，即f(N-1,T-t[N])+s[N]。以此类推，便可以想到，要求解目标状态(N,T,f(N,T))，需要从初始状态(1,0…T,f(1,0…T))逐层向上求解得到，是一种自底向上的思想。
自顶向下和自底向上：


代码如下:

优化：

考虑:

• t(课的时长) = [3,2,5,4]
• s(课的学分) = [4,1,7,6]
• T(用来上课的时间) = 10

则得到的结果为: 13
最终维护的f(n,t)为:

重点:
经计算得，f(i,j) 由 f(i-1,j-t(i)) 和 f(i-1,j) 获得，而后面两个状态都是已经被计算过的。假设正在计算第i行，那么在开始计算之前，我们已经知道了第i-1行的所有状态，而我们也仅需要知道第i-1行的所有状态，0…i-2行是与我们无关的。
因此，我们不需要用一个二维的数组来将所有可选课程数、所有学习时长下的所有学分情况都记录下来。我们只需要用一个一维的数组来存储上一行的所有学分情况，并在它上面来更新得到这一行的所有学分情况。
也就是说，简化我们的二维数组f(n,t)为f(t)。在计算f(j)时，我们需要上一行的f(j),和上一行的f(j-t(i))，我们要保证后面两个状态在计算f(j)之前没有被覆盖，所以，我们要做的就只是改变我们的遍历顺序，改成下图所示。

代码如下:

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上述采用动态规划思想，并利用自底向上的优点，减少了空间的利用

完全背包问题

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