算法题： 求一个整数数组中，通过元素加减运算得到指定结果的所有运算过程. 例如【5,4,6,7,1】= 9 ?

题目： 给定一个整数数组int[] a (a.length > 1)，和一个整数值 m，试输出所有运算结果等于m的运算过程。可使用的运算方式只有加法和减法。数组元素最多参与一次运算。例如，给定数组【5,4,6,7,1】和整数9,输出运算结果为9的运算过程如下：

+5+4=9
+5+4+6-7+1=9
+5+4-6+7-1=9
+5-4+7+1=9
+4+6-1=9
-4+6+7=9
-5+6+7+1=9

这个题目，我们可以使用回溯算法得到所有的解。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树中的任一节点时，先判断该节点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对已该结点为根的子数的搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法求问题所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。

回溯法通常包含3个步骤

• 针对所给问题，定义问题的解空间
• 确定易于搜索的解空间结构。常见的结构一般为n叉树结构，而且一般都是满n叉树。
• 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中使用剪枝函数避免无效搜索。深度优先策略可以选择先序遍历，中序遍历，和后序遍历。

对于给定的这个题目，我们首先要确定问题的解空间。由于如下的条件限定

• 运算过程只能使用加法和减法
• 数组元素最多参与一次运算

我们可以把数组元素的操作转换为 (x1 * +1 ) + (x2 * -1) + (x3 * 0) ....... = ? ，以题目为例, 很容易看出题目需要的解向量为 { (1,1,1,-1,1), (-1,0,1,1,1)..... } ,然后我们可以确定出解空间结构为一个3叉树，而且是一个满三叉树。三叉树深度是给定数组的长度加一，如题中数组长度为5，那么解空间结构的三叉树的深度为6。由于篇幅限制，这里只画了最左部分节点的结构。

最后，剩下的步骤就是遍历这颗三叉树，检查每个节点的结果是否符合要求。我们以根节点，左子树，中子树，和右子树的顺序进行深度优先遍历。那么以最左边树为例，其遍历的结果如上图所示，其中只有遍历到第三层时的加法运算组合满足要求 (5+4 = 9)，那么我们可以得到一个解向量，即 { (1,1,0,0,0) }。另外，符合要求的解，很有可能在叶子结点获得。例如(5+4+6-7+1=9)，对应的解向量为{ (1,1,1,-1,1 ) }。

代码如下

解空间数据结构的节点类

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1. package com.csdn.blog.TechNerd.TraceBack;  
2. /* 
3.  * 构造树节点，包含左子节点，中子节点，和右子节点的引用。以及该节点深度及数据信息。 
4.  */  
5. public class Node {  
6.       
7.     private Node _lnode;  
8.     private Node _rnode;  
9.     private Node _mnode;  
10.     private int _data;  
11.       
12.     private int _depth;  
13.       
14.     public Node(int data,int depth){  
15.         this._data = data;  
16.         this._depth = depth;  
17.     }  
18.       
19.       
20.     public void setLNode(Node lnode){  
21.         this._lnode = lnode;  
22.     }  
23.   
24.     public void setMNode(Node mnode){  
25.         this._mnode = mnode;  
26.     }  
27.       
28.     public void setRNode(Node rnode){  
29.         this._rnode = rnode;  
30.     }  
31.       
32.   
33.       
34.     public int getData(){  
35.         return this._data;  
36.     }  
37.       
38.     public int getDepth(){  
39.         return this._depth;  
40.     }  
41.       
42.     public Node getLNode(){  
43.         return this._lnode;  
44.     }  
45.       
46.     public Node getMNode(){  
47.         return this._mnode;  
48.     }  
49.       
50.     public Node getRNode(){  
51.         return this._rnode;  
52.     }  
53.       
54.   
55.       
56. }  

如下类为解空间数据结构，包含回溯算法的应用。

[java]  view plain  copy

1. package com.csdn.blog.TechNerd.TraceBack;  
2.   
3.   
4. public class TraceBackTree {  
5.       
6.     private Node _root;  
7.     private int _depth;  
8.       
9.       
10.     private int[] _a;    
11.     private int _m;     
12.       
13.       
14.     public TraceBackTree(Node root,int depth,int[] a,int m){  
15.         this._root = root;  
16.         this._depth = depth;  
17.         buildBTree();  
18.         this._a = a;  
19.         this._m = m;  
20.     }  
21.       
22.    /* 
23.     * 构建解空间数据结构，题目所需要的是一个满三叉树。 
24.     */  
25.     private void buildBTree(){  
26.           
27.         this._root.setLNode(createNode(1,2));  
28.         this._root.setMNode(createNode(0,2));  
29.         this._root.setRNode(createNode(-1,2));  
30.           
31.     }  
32.       
33.     private Node createNode(int data,int depth){  
34.           
35.         if (depth <= this._depth){  
36.             Node n = new Node(data,depth);  
37.             n.setLNode(createNode(1,depth + 1));  
38.             n.setMNode(createNode(0,depth + 1));  
39.             n.setRNode(createNode(-1,depth +1));  
40.             return n;  
41.         }else{  
42.             return null;  
43.         }  
44.     }  
45.       
46.     /* 
47.      * 按照根节点，左子节点，中子节点，右子节点的顺序对数进行遍历，打印所有节点。 
48.      */  
49.     public void preOrderTraverse(){  
50.         preOrderTraverse(this._root);  
51.     }  
52.   
53.     private void preOrderTraverse(Node n){  
54.         if (n != null){  
55.             printNode(n);  
56.             preOrderTraverse(n.getLNode());  
57.             preOrderTraverse(n.getMNode());  
58.             preOrderTraverse(n.getRNode());  
59.         }  
60.     }  
61.       
62.     private void printNode(Node n){  
63.         System.out.print(n.getData() + " ");  
64.           
65.     }  
66.     /* 
67.      *回溯法求所有解。  
68.      */  
69.     public void backTrace(int[] a,int m){  
70.   
71.         int[] x = new int[this._depth - 1]; //定义存储解向量的数组。该数组长度与题目给定的数组长度相等。  
72.         backTrace(this._root,x);  
73.           
74.     }  
75.     private void backTrace(Node n,int[] x){  
76.   
77.             if (n.getDepth() > 1) x[n.getDepth() - 2] = n.getData(); //将节点值付给解向量数组。  
78.               
79.             if (constraints(x,n.getDepth() - 2)){   
80.                 printSolution(x,n.getDepth() - 2);  
81.             }  
82.             if (n.getLNode() != null)   
83.                 backTrace(n.getLNode(),x);  
84.             if (n.getMNode() != null)   
85.                 backTrace(n.getMNode(),x);  
86.             if (n.getRNode() != null)   
87.                 backTrace(n.getRNode(),x);  
88.               
89.     }  
90. /* 
91.  * 检查目前解向量是否满足题目要求，就和等于指定值。 
92.  */      
93. private boolean constraints(int[] x,int boundary) {  
94.         int sum = 0;  
95.         for (int i=0;i<= boundary;i++){  
96.             sum += _a[i] * x[i];   
97.         }  
98.         return (sum == _m && x[boundary] != 0);  
99.     }  
100.   
101.   
102.     private void printSolution(int[] x,int boundary) {  
103.         for (int i =0;i<= boundary;i++){  
104.             if (x[i] == 1){  
105.                 System.out.print("+"+ _a[i]);  
106.             }else if (x[i] == 0){  
107.                   
108.             }else if (x[i] == -1){  
109.                 System.out.print("-" + _a[i]);  
110.             }  
111.         }  
112.           
113.         System.out.println("=" + this._m);  
114.           
115.           
116.     }  
117.       
118.     public static void main(String[] args){  
119.         int[] a = {5,4,6,7,1};  
120.         int m = 9;  
121.         //创建的数的深度为给定数组的长度加一   
122.         TraceBackTree bt = new TraceBackTree(new Node(1,1),a.length + 1,a,m);    
123.         //按照根节点，左子节点，中子节点，右子节点的顺序对数进行遍历，打印所有节点。  
124.         // bt.preOrderTraverse();    
125.           
126.         bt.backTrace(a,m);  
127.     }  
128. }