状态压缩DP

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本文介绍了一种使用状态压缩递推方法解决N皇后问题的算法。该方法通过逐行放置皇后并利用二进制数记录已放置皇后的位置，避免皇后间相互攻击。文章详细解释了递推式的形成过程及其实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：在 n*n(n≤20)的方格棋盘上放置 n 个车(可以攻击所在行、列)，求使它们不能互相攻击的方案总数。

思路：

状态压缩递推：

首先，每一行只能有一个车，只要一行行地放，每行只放一个，保证同一行之间不会有攻击。

其次，每一列只能放一个车，只要能记录下那一列有车，下次不再考虑这一列就可以了。

用一个二进制数S来表示某一列是否已经放置了车。考虑n=5，S=01101，就表示第一、三、四列（从低位开始）已经放置了车。f[S]表示在状态S下的方案数。

那么状态S是怎么来的呢？

因为是一行行放置的，所以到状态S的时候已经放置到了第三行。

三种情况：

前两行在第 3、 4 列放置了棋子(不考虑顺序，下同)，第三行在第 1 列放置；

②前两行在第 1、 4 列放置了棋子，第三行在第 3 列放置；

③前两行在第 1、 3 列放置了棋子，第三行在第 4 列放置。

这三种情况互不相交，且只可能有这三种情况，根据加法原理，应该等于这三种情况的和，写成递推式就是f[01101] = f[01100]+f[01001]+f[00101]

推广状态S，那么f[S] = Σf[S^(1<<(i-1))]，其中i是枚举的状态S中每一个1的位置（从低位到高位）。

边界条件：f[0] = 1。

输出f中所有状态的方案数，按照S中1的个数分类：

0:1 0!

1:1 1 1 1 1 1!

2:2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2!

3:6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3!

4:24 24 24 24 24 4!

5:120 5!

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int f[1<<21];
vector<int> cnt_1[21];

int Cnt(int s)///计算S中有多少个1，计算时都会把S转换成二进制数进行计算
{
    int cnt = 0;
    while (s > 0)
    {
        cnt++;
        s &= (s-1);
    }

    return cnt;
}

int main()
{
    int n;

    cin>>n;

    f[0] = 1;
    cnt_1[0].push_back(1);
    for (int S=1; S<=(1<<n)-1; S++)
    {
        f[S] = 0;
        for (int i=1; i<=n; i++)
            if (S & (1<<(i-1)))
        {
            int s = S ^ (1<<(i-1));///i是枚举状态S中每一个1的位置
            f[S] += f[s];
        }
        cnt_1[Cnt(S)].push_back(f[S]);
    }

    for (int i=0; i<=n; i++)
    {
        for (int j=0; j<cnt_1[i].size(); j++)
            cout<<cnt_1[i][j]<<' ';
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}