为什么$\sqrt{2}$不能用有理数表示(没啥用的课外小知识)

为什么$\sqrt{2}$不能用有理数表示

有理数的定义{x∣x=qp,p≠0,p和q的最大公约数为1}\{x|x=\frac{q}{p},p\neq0,p和q的最大公约数为1\}{x∣x=pq​,p​=0,p和q的最大公约数为1}.
如果$\sqrt{2}$可以用有理数表示, 那么就意味着$\frac{q}{p}=\sqrt{2}$.
我们把等号两边同时平方,就可以得到
$$\frac{q^2}{p^2}=2.$$
此时我们可以得到$q^2=2p^2$, 即$q^2$是一个偶数. 我们已知,偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数. 因此我们可以得到$q$是偶数的结论, 即
$$q=2q^{\prime }.$$
我们把这个结果代回去就可以得到
$$\frac{4q^{\prime 2}}{p^2}=2,$$
同样我们可以得到
$$p^2=2q^{\prime 2}.$$
此时我们又可以得到$p^2$是偶数, 以及$p$是偶数.
至此我们发现$p$和$q$都是偶数, 即都可以被2整除. 这是一个非常糟糕的结论, 因为他们有一个公约数为2, 与最大公约数为1的条件矛盾. 因此$\sqrt{2}$不能用有理数表示.