线性代数 高斯消元

其实我线性代数考试每次都99,100的，可惜好久不学都快忘了。
没想到acm居然要用到,早知道不扔笔记本了QAQ

#define A(n,m) n行m列的行列式A
#define A[n][m] 行列式A的第n行第m列的元素
#define |A| 行列式A的值

行列式A=$\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 5& 1& 4\\ 3& 2& 2\end{array}\right]$ , 312为主对角线 , 213为副对角线 , |A|为主对角线方向相乘 - 副对角线反向相乘 : 6+24+20-6-20-24=0

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两个行列式$A(a,b),B(c,d)$可乘当且仅当$b=c$,乘完后的行列式为$C(a,d)$,且$C[i][j]=A的第i行\times B的第j列$

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矩阵或行列式的一行或一列称为向量

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$A(a,b{)}^T$表示$A(a,b)$的转置, ->$A^T(b,a)A[i][j]=A^T[j][i]$

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一个矩阵的秩 r 的定义为 : 至少r个行向量才能表示矩阵中任意一个行向量
\quad\quad比如 : (1,0,0)和(0,1,0)就可以表示(2,3,0)
\quad\quad所以r最大为min(n,m)

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E表示单位矩阵,主对角线为1其他为0

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$A^{-1}表示A的逆,A^{-1}\times A=E$
求$A^{-1}$方法 : 把A和单位矩阵并排写在一起,化解A至单位矩阵,右边的单位矩阵变幻后即为A的逆
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有如下方程组 :

矩阵形式为 :

A称为系数矩阵, B放到A的右边连在一起称为增广矩阵

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$B̸=0时:$ 称此方程组为非齐次线性方程组
方程组有唯一解$\iff |A|̸=0$ $\iff$ A可逆
方程组有解$\iff$ r(系数矩阵)=r(增广矩阵)

$B̸=0时:$ 称此方程组为齐次线性方程组
方程组有唯一解且为全0解$\iff |A|̸=0$ $\iff$ A可逆
方程组有非0解$\iff |A|=0\iff$ A不可逆
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初等变换 :
交换两行 , 一行乘上一个非0数 , 一行加上另一行的k倍

高斯消元 :
通过初等变换将系数矩阵变成上三角矩阵 , 再变成单位矩阵 , 此时的B就是对应x的解

上图的解为 : $x_1=9,x_2=-1,x_3=-6$

const double EPS=1e-8;
//高斯消元，系数矩阵为a[i][j],i=1…n,j=1…n,常数为a[i][n+1],i=1…n，答案存在x[i]
double x[maxn], a[maxn][maxn];
void guass(int n) {
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int j = -1;
        for(int k=i;k<=n;k++) {
            if (abs(a[k][i])>EPS) {
                j=k; break;
            }
        }
        if (j==-1) continue;
        if (i!=j) for(int k=i;k<=n+1;k++) swap(a[i][k], a[j][k]);
        for(int k=i+1;k<=n;k++) {
            double x = a[i][i], y = a[k][i];
            if (abs(y) < EPS) continue;
            for(int p=i;p<=n+1;p++) {
                a[k][p] = a[i][p] - x / y * a[k][p];
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        double tmp = 0;
        for(int  j=i+1;j<=n;j++) {
            tmp += a[i][j] * x[j];
        }
        tmp = a[i][n+1] - tmp;
        if (abs(a[i][i])>EPS)
            x[i] = tmp / a[i][i];
        else {

        }
    }
}

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范德蒙德行列式