差分数状数组

差分数状数组

用于区间加和区间查询，较线段树来讲更为简洁

之所以称之为差分数状数组，是因为其运用了差分的思想实现了区间加值。

首先考虑差分数组d：

$$d[i]=a[i]-a[i-1]$$

则对于a[x]有

$$a[x]=\sum _{i=1}^{x}d[i]$$

再设Sum数组为a数组的前缀和，则有

$$Sum[x]=\sum {}_{i=1}^{x}a[i]$$

带入对于d数组的定义，则有

$$Sum[x]=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{i}d[j]$$

根据上式可推出

$$Sum[x]=\sum _{i=1}^x(x-i+1)\times d[i]$$

分离两侧有

$$Sum[x]=(x+1)\times \sum _{i=1}^x-\sum _{i=1}^{x}i\times d[i]$$

综上针对区间和的维护，只需要维护两个差分数组的数状数组（$ d[i] $、$i*d[i]$）即可。

#唯一分解定理

一个大于1的正整数N，若其标准分解式是

$$N=P_1^{a_1}{P}_2^{a_2}...P_n^{a_n}$$

则其正因数的个数是

$${\delta }_0(N)=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)$$

其全体正因数之和是

$${\delta }_1(N)=(1+p_1+p_1^2+\dots p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\dots p_2^{a_2})...(1+p_n+p_n^2+\dots p_n^{a_n})$$