代码随想录训练营第37天|背包排列数

原创已于 2024-09-19 16:43:57 修改 · 526 阅读

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#算法 #c++ #数据结构

于 2024-09-19 16:34:07 首次发布

52. 携带研究材料

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main(){
    int n,v;
    cin>>n>>v;
    vector<int> weights(n,0), values(n,0),dp(v+1,0);
    for(int i=0; i<n; i++){
        cin>>weights[i];
        cin>>values[i];
    }
    for(int i=0; i<n; i++){
        for(int j=weights[i]; j<=v; j++){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weights[i]]+values[i]);
        }
    }
    cout<<dp[v];
    return 0;
}

dp[i]：容量为i的背包，所能装载的最大价值

转移方程：尝试所有可能得物品i，占据空间weights[i]，产生价值values[i]。遍历背包时使用正序遍历，意味着大容量的dp可以重复使用values[i]，为完全背包问题。

518. 零钱兑换 II

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n=coins.size();
        vector<int> dp(amount+1,0);
        dp[0]=1;
        for(auto& coin:coins){
            for(int i=coin; i<=amount; i++){
                dp[i]+=dp[i-coin];
            }
        }
        return dp[amount];

    }
};

dp[i]:凑成金额i的不同方案数。

转移方程：因为coin可以任选，是完全背包问题，所以背包采用正序遍历。给定面额coin，如果使用它后凑到金额i，意味着使用之前已凑够i-coin，对应的方案数为dp[i-coin]，累加所有可能得到dp[i]。

初始化dp[0]=1：

解释1：凑0元，即要求任何coin都不选，什么都不选也是1种方案。

解释2：假设要凑5元，恰好有面额5，按递推公式会累加dp[5-5]，而直观上会新增1种方案，所以有:dp[5-5]=1。

377. 组合总和 Ⅳ

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=1; i<=target; i++){
            for(auto &num: nums){
                if(i-num>=0)
                    dp[i]+=dp[i-num];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

和上题的区别在于求的是排列数，解法也只是调换了一下内外层循环的顺序，原因：

1.上题的逻辑是每给定一个物品后，刷新滚动数组，更新方案数。由于物品遍历是有序的，在使用靠前的物品时，是无法利用靠后物品的信息的。举个例子，假设要凑够5元，有零钱1、4。在使用零钱1刷新滚动数组时，是不知4的存在的，此时统计的方案数也绝对不会出现（1,4），只有当遍历到零钱4时，才会将（4,1）的情况计入。

2.本题的逻辑是先给定一个背包容量，然后尝试所有可能的物品，更新方案数。这里差异就出来了，还是沿用1中的例子，dp[5]的计算中：

选定1元，累加dp[4]，dp[4]的计算会考虑全部元素，因此(1,4)会被计入。

选定4元，累加dp[1]，（4,1）会被再次计入。

因此，这种遍历顺序统计的其实是排列数。

57. 爬楼梯

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<int> dp(n+1,0);
    dp[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=m; j++){
            if(i-j>=0)
                dp[i]+=dp[i-j];
        }
        // cout<<i<<":"<<dp[i]<<endl;
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}

dp[i]:移动到第i层的方案数。

转移方程：假设是移动j（按题意1<=j<=m）步后才到达第i层，那么意味着移动前应该处于(i-j)层，对应的方案数为dp[i-j]，累加所有情况得到dp[i]。

因为考虑顺序，所以求的是排列数，先遍历背包，再遍历物品。