快速幂取模算法

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在MillerRabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能 

算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：

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1. int modexp_simple(int a,int b,int n)       
2. {      
3.     int ret = 1;  
4.     while (b--)  
5.     {  
6.         ret = a * ret % n;  
7.     }  
8.     return ret;  
9. }    

int modexp_simple(int a,int b,int n)     
{    
    int ret = 1;
    while (b--)
    {
        ret = a * ret % n;
    }
    return ret;
}  

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b =p(n)*2^n  + p(n-1)*2^(n-1)  +…+  p(1)*2  + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b = a^ (p(n)*2^n  + p(n-1)*2^(n-1)  +...+ p(1)*2  +  p(0))
              =  a^(p(n)*2^n) *  a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...*  a^(p(1)*2) *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ）=  a^0  = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1)  * 2) =(  a^(  p(i) *  2^(i-1)  ) )^2
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法： http://baike.baidu.com/view/1431260.htm ）

利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

实例代码：递归

1. //计算a^bmodn       
2. int modexp_recursion(int a,int b,int n)       
3. {      
4.     int t = 1;  
5.   
6.     if (b == 0)  
7.         return 1;  
8.   
9.     if (b == 1)  
10.          return a%n;  
11.   
12.     t = modexp_recursion(a, b>>1, n);  
13.   
14.     t = t*t % n;  
15.   
16.     if (b&0x1)  
17.     {      
18.         t = t*a % n;  
19.     }  
20.   
21.     return t;  
22.  }   

//计算a^bmodn     
int modexp_recursion(int a,int b,int n)     
{    
    int t = 1;

    if (b == 0)
        return 1;

    if (b == 1)
         return a%n;

    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);

    t = t*t % n;

    if (b&0x1)
    {    
        t = t*a % n;
    }

    return t;
 } 

实例代码2：非递归优化 

1. #include      
2. using namespace std;     
3.     
4. //计算a^bmodn     
5. int modexp(int a,int b,int n)     
6. {     
7.     int ret=1;     
8.     int tmp=a;     
9.     while(b)     
10.     {     
11.        //基数存在     
12.        if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;     
13.        tmp=tmp*tmp%n;     
14.        b>>=1;     
15.     }     
16.     return ret;     
17. }     
18.     
19. int main()     
20. {     
21.     cout<<modexp(2,10,3)<<endl;     
22.     return 0;     
23. }    

#include using namespace std; //计算a^bmodn int modexp(int a,int b,int n) {int ret=1; int tmp=a; while(b) { //基数存在 if(b&0x1)ret=ret*tmp%n; tmp=tmp*tmp%n; b>>=1; } return ret; } intmain() { cout<<modexp(2,10,3)<<endl; return 0; }

 

原文：http://kmplayer.javaeye.com/blog/601578