[leetcode]动态规划总结-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jinyonghorse/article/details/12781903

本文深入探讨了动态规划在解决一维与两维问题中的应用，包括三角形路径最小化、解码方式计数、单词分割与回文划分等经典案例。通过详细解析递推公式与初始化条件，展示了如何利用动态规划进行高效算法优化。

1. 一维的动态规划

1) Triangle

每个单元到最底层的最短路径path[i][j]为path[i+1][j]和path[i+1][j+1]中的较小值。

2) Decode Ways

f[i]记录s[0]...s[i]可选择的解码方式数。

如果s[i]为0，那么必须与s[i-1]组合且s[i-1]必须为1或2，此时s[i] = s[i-2]。

如果s[i]不为0，那么这一位可以单独解码或和前一位一起解码，所以s[i]=s[i-1]+s[i-2]。

2. 两维的动态规划

1) Word Break：

f[i, j]表示子串s[i]...s[j]是否可以表示成若干单词组成的句子。

递推公式：如果存在i<=k<j，满足f[i,k]=true且f[k+1,j]=true，则f[i,j] = true。

初始条件：若f[i,j]就是个单词，则f[i,j]=true。

2) Palindrome Partition

f[i,j]表示子串s[i]...s[j]是否是回文。

递推公式：如果s[i]=s[j]，则f[i,j] = f[i+1,j-1]。否则，f[i,j] = false。

初始条件：f[i,i] = true。

然后用回溯的方法，构造每个合法的分割。

for(i=begin;i<sLen;i++)
{
        if(isPalindrome[begin][i])
        {
            string substr = s.substr(begin, i-begin+1);
            temp.push_back(substr);
            Build(s, i+1, isPalindrome, temp, result);
            temp.pop_back();
        }
}

3) Palindrome Partition II

在与Palindrome Partition相同的动态规划基础上，还要计算最小的分割是几次分割。

minCut[i]表示子串s[0]...s[i]的最小分割次数。

递推公式：如果存在0<=k<i，满足子串s[k+1]...s[i]是个回文，且minCut[k]+1小于当前的minCut[i]，则更新minCut[i]。

初始条件：minCut[i] = i。

        // find min cut
        // minCut[i]: the min cut of string [0, 1, ..., i]
        int *minCut;
        minCut = new int[sLen];
        for(i=0;i<sLen;i++)
        {
            // initialize
            if(isPalindrome[0][i])
            {
                minCut[i] = 0;
                continue;
            }
            minCut[i] = i;
            // find k, making string [k+1, ..., i] palindrome, and get minCut[k]
            for(k=0;k<i;k++)
            {
                 if(isPalindrome[k+1][i] && minCut[k]+1<minCut[i])
                    minCut[i] = minCut[k] + 1;
            }
        }

4) Interleaving String

f[i][j]表示s1[i]和s2[j]是否能够拼出s3[i+j+1]。

如果s3[i+j+1]等于s1[i]也等于s2[j]，那么f[i][j] = f[i-1][j] || f[i][j-1]。如果s2[i+j+1]只等于s1[i]，那么f[i][j] = f[i-1][j]。如果s2[i+j+1]只等于s2[j]，那么f[i][j] = f[i][j-1]。否则为false。