最短路径、最短路径树和最小生成树

首先介绍这三个概念，很多人都听过最短路径了，但是最短路径树却很少听过，关于最短路径树的介绍也不太多。而最短路径树和最小生成树更是完全不同的两个概念。

       最短路径就是从一个指定的顶点出发，计算从该顶点出发到其他所有顶点的最短路径。通常用Dijkstra算法，Floyd算法求解。

       最短路径树SPT（Short Path Tree）是网络的源点到所有结点的最短路径构成的树。

       最小生成树是用和最少的边集将一个图连成任意2点可达，并且这个边集的总长度最小。保证整个拓扑图的所有路径之和最小。通常用Prim算法和kruskal算法求解。

       下面是最短路径树和最小生成树的对比图，原图来论文[1]。

原图：

对比图：

                           

                                                          最短路径树图                                    

 

 

     

                                                                      最小生成树图

        最短路径树的路径总长度为75，最小生成树的路径总长度为67.
 

最小生成树算法：

Prim方法

设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合：
（1）初始令U={u0},(u0属于V), TE=NULL
（2）在所有u属于U,v属于V-U的边(u,v)属于E中，找一条代价最小的边(u0,v0)
（3）将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U
（4）重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,{TE})为N的最小生成树

Kruskal算法

设连通网N=(V,{E})，令最小生成树
（1）初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{NULL})，每个顶点自成一个连通分量
（2）在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边
（3）依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止

 

最短路径算法：

最短路径：路径上所有边的权值之和最小。

某顶点到其它个点的最短路径
Dijkstra算法：

（1）初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
（2）若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值
（3）若不存在<V0,Vi>，为无穷
（4）从T中选取一个其距离值为最小的顶点W，加入S
（5）对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值
（6）重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止

每对顶点之间的最短路径
Floyd算法：

（1）初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为无穷
（2）逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值
（3）所有顶点试探完毕，算法结束