C++ 树论 —— 树的存储方式

在信奥赛中，我们会接触到一种很常见，很基础的数据结构，它就是树。

树是什么？

树是无环连通图。

树可以怎么分类？

树可以分成：

1. 有根树和无根树
2. n叉树
3. ……

树有哪些特殊性质？

1. 树的边数 = 树的点数 - 1
2. 树的两点之间存在唯一路径
3. ……

树是很清晰的，也是复杂的，树的问题或许十分简单，比如求父节点（好吧，没有这样的问题），也有很复杂的数据结构，比如说红黑树，是需要我们多练习的。

在了解了以上问题后，让我们切入正题，树的存储方式有哪些？

树的存储方式

邻接表

我们知道，存图主要有三种方式：邻接矩阵、邻接表和链式前向星（不讲）。邻接矩阵十分占用空间，它的空间复杂度是O(n^2)的，树是一种典型的稀疏图，用邻接矩阵存树十分浪费，而且在树的应用中也不占优势；而邻接表比较节省空间，而且实现简单，是存树的不二选择。

孩子兄弟表示法

我们可以开一个结构体数组：

struct Node {
    int bro;
    int son;
} tree[N];

结构体Node里面有两个数据，分别是Bro和Son，分别存储着它的下一个兄弟和儿子的下标。

e.g.

1

|        |        |        |

2       3       4       5

|  |      |                |

6 7     8               9

其中tree[2]的bro是3，son是6，代表2号节点的下一个兄弟节点的下标是3，而它的第一个子节点的下标是6。

对于tree[6]而言，它是叶子节点，因此son为0（当然也可以是-1或者是任意一个代表无子结点的数），但是它有下一个兄弟节点，因此bro为7。

对于tree[5]而言，它不是叶子节点，有子节点9，因此son为9，而它却没有下一个兄弟节点，因此bro为0。

对于tree[7]而言，它既是叶子节点，又没有下一个兄弟节点，因此son和bro都为0。

注意：孩子兄弟表示法是对有根树而言的。

有根树和无根树的区别

有根树存在根节点；无根树则类似与图，没有根节点，比如说：

1

|        | 

2       3

和

2

|

1

|

3

是同一棵树（如果它们都是无根树）。

双亲表示法

请注意，虽然名为双亲表示法，实际上只有“单亲”，也就是存储节点的父节点。

int fa[N];

我们可以通过一个普通的数组来存储一棵树，而fa[i]也就是i的父节点，这种存储方式可以很快地获取到父节点，但不能很快地获取到子节点。

e.g.

1

|        |        |        |

2       3       4       5

|  |      |                |

6 7     8               9

还是用刚刚的那个例子。

index	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fa[index]	0	1	1	1	1	2	2	3	5

很明显，fa[i]就是i的父节点。 

总结

今天我们讨论了树的定义、性质和最重要的树的表示方式。我们得知树的主要表示形式有

1. 邻接表
2. 孩子兄弟表示法
3. 双亲表示法

了解了他们之间的区别。希望大家能勤加练习，在这条路上越走越远！

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