用三次贝塞尔曲线拟合圆弧

最新推荐文章于 2025-06-17 08:33:15 发布

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#贝塞尔曲线拟合圆

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本文详细介绍了如何利用三次贝塞尔曲线精确拟合圆弧，并提供了完整的数学推导过程，包括求解贝塞尔曲线控制点的具体公式及JavaScript实现代码。

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由于工作需求，需要用三次贝塞尔曲线拟合圆弧，所以查阅了一些资料，主要参考如下文章：

使用贝塞尔曲线拟合圆

但是文章写的过于简单，也没有推演步骤，而我需要知道任意圆弧如何求出贝塞尔曲线的两个控制点，所以自己进行了推算，如有疏漏望指正。

一、绘图

最开始解这个的时候其实我是用代数去解的，但是后面发现代数运算过于复杂，很难写出解，于是想到通过几何的方式来解这个，比较参考文章里也用了半角的特殊值。于是我尝试从几何的角度来解。先贴我画的几何图，如下，其中实线部分是很容易就想到要连起来的，虚线部分是作的辅助线：

简单解释下上面的图，其中点 O 是圆心，P0、P3 分别是圆弧的起点和终点，P1 和 P2 分别是贝塞尔曲线的两个控制点。 M2 是线段 P1-P2 的中点，M0 是线段 O-M2 和 P0-P3 的交点。 M1 是贝塞尔曲线 t = 0.5 时的点，也就是圆弧的中点，同时很容易就可以证明 M1 在线段 O-M2 上（根据几个垂直可以推出）。

其中有几个中点没有标，根据三次贝塞尔曲线的几何性质可以知道：M1 是一个很特殊的中点，它可以这样取得：取 P0-P1、P1-P2、P2-P3的中点 C0、M2、C2，连接 C0-M2 和 M2-C2，取 C0-M2 和 M2-C2 的中点 D1、D2，连接 D1-D2，取 D1-D2 的中点就是 M1,M1 是在贝塞尔曲线上的，也就是在圆弧上的。

接下来我们做两条辅助线，过 P1 作 P0-P2 的垂线，垂足为 F0，延长 0-M2 和 P0-P1 交于 F1。

二、推算

其实我觉得把图画好就成功一半了，所以画图真的很重要：）

接下来给出已知量，已知圆的半径 r ， P0 和 P2 的坐标。求 P1 和 P2 的坐标。

2.1 推算 P0-P1 的长度

1. 假设 P0-P1 的长度为 l（小写的L 不是 1），M0-M2 的长度为 d，∠P0-O-P1 的角度为 θ。

2.首先可以证明出 ∠O-P0-P1 和 ∠O-P3-P2 是直角，这里省略。（大致过程应该可以通过求出贝塞尔曲线的切线，然后得出在 t = 0 和 t = 1 是两个控制点 P1、P2 是在切线上的，结合圆的切线垂直于圆点到圆心的连线）

3. 推算出线段 M2-M1 的长度是 M1-M0 的 1/4，同时 M1-M0 是 M2-M0 的 3/4。（这个步骤相对简单，根据贝塞尔曲线的 M1 点由来（多次取中点）可以证明）

5. (线段长度M0-M1) = r - (线段长度O-M0)，O-M0的长度 = r*cos(θ/2)，θ为 ∠P0-O-P1 的角度。结合 M0-M1 是 M0-M2 的 3/4，如果 M0-M2 的长度为 d。那么

d*3/4 = r - r*cos(θ/2) （方程 1）

6. 由于 ∠P0-M0-O 和 ∠P1-P0-O 都是直接，那么可以很快证明出 ∠P1-P0-F0 = ∠P0-O-M0 = θ/2，进而得出 P1-F0 的长度等于 l*sin(θ/2)，l 的长度是 P0-P1 的长度。之后可以得出 M0-M2 的长度是等于 P1-F0 的长度的，也就是

d = l*sin((θ/2)) (方程 2)

7. 联合方程1 和方程2 ，可以求出 l ，也就是 P0-P1 的长度

l = (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r

2.2 求P1、P2 的坐标

1. 假设 O 点的坐标为 (x,y)，∠P1-O-P0 的角度为 β，线段 P1-O 的长度为 s，点 P0 转换成极坐标 (α,r)，点 P3 的极坐标为 (σ,r)。α 是 P0 的极坐标角度，σ 是 P3 的极坐标角度。

2. 给出这轮的已知条件

l = (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r

sinβ = l/s

cosβ = r/s

x0 = r*cosα + x

y0 = r*sinα + y
x3 = r*cosα + x

y3 = r*sinσ + x

3. x1 = s*cos(α+β) + x

= s*cosα*cosβ - s*sinα*sinβ + x

= r*cosα - l*sinα + x

= x0 -(4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r *sinα

= x0 - (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*(y0-y)

y1 = s*sin(α+β) + y

= s*sinα*cosβ + s*cosα*sinβ + y

= r*sinα + l*cosα + y

= y0 + (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r *cosα

= y0 + (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*(x0-x)

x2 = s*cos(σ-β) + x

= s*cosσ*cosβ + s*sinσ*sinβ + x

= r*cosσ + l*sinσ + x

= x3 + (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r*sinσ

= x3 + (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*(y3-y)

y2 = s*sin(σ-β) + y

= s*sinσ*cosβ - s*cosσ*sinβ + y

= r*sinσ - l*cosσ + y

= y3 - (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r*cosσ

= y3 - (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*(x3-x)

4. 如果假设 a = (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2)) = (4/3)*tan(θ/4)，结果可以简化为

x1 = x0 - a*(y0-y)

y1 = y0 + a*(x0-x)

x2 = x3 + a*(y3-y)

y2 = y3 - a*(x3-x)

至此全部推算结束，这里补充说明几点，首先拟合的圆弧角度不能大于 90°，如果是大弧度的圆弧可以划分成多段拟合，其次拟合的偏移量每隔 45° 就回归一次，从 0° - 45° 偏移量从小到大，再到小。

最后贴一段实际的 javascript 代码：

//r 为圆弧半径，cx,cy 为圆弧圆心，startAngle,endAngle 为圆弧的起始角度和结束角度
arcToBezier(r,cx,cy,startAngle,endAngle)
{
	var x0 = cx + Math.cos(startAngle)*r;
	var y0 = cy + Math.sin(startAngle)*r;
	var x3 = cx + Math.cos(endAngle)*r;
	var y3 = cy + Math.sin(endAngle)*r;
	var addAngle = endAngle - startAngle;
	var a = 4*Math.tan(addAngle/4)/3;
	var x1 = x0 - a*(y0 - cy);
	var y1 = y0 + a*(x0 - cx);
	var x2 = x3 + a*(y3 - cy);
	var y2 = y3 - a*(x3 - cx);
	return {"x0":x0,"y0":y0,"x1":x1,"y1":y1,"x2":x2,"y2":y2,"x3":x3,"y3":y3};
}