用三次贝塞尔曲线拟合圆弧

           由于工作需求，需要用三次贝塞尔曲线拟合圆弧，所以查阅了一些资料，主要参考如下文章：

       使用贝塞尔曲线拟合圆

       但是文章写的过于简单，也没有推演步骤，而我需要知道任意圆弧如何求出贝塞尔曲线的两个控制点，所以自己进行了推算，如有疏漏望指正。

一、绘图        

        最开始解这个的时候其实我是用代数去解的，但是后面发现代数运算过于复杂，很难写出解，于是想到通过几何的方式来解这个，比较参考文章里也用了半角的特殊值。于是我尝试从几何的角度来解。先贴我画的几何图，如下，其中实线部分是很容易就想到要连起来的，虚线部分是作的辅助线：

        简单解释下上面的图，其中点 O 是圆心，P0、P3 分别是圆弧的起点和终点，P1 和 P2 分别是贝塞尔曲线的两个控制点。 M2 是 线段 P1-P2 的中点，M0 是线段 O-M2 和 P0-P3 的交点。 M1 是贝塞尔曲线 t = 0.5 时的点，也就是圆弧的中点，同时很容易就可以证明 M1 在线段 O-M2 上（根据几个垂直可以推出）。

        其中有几个中点没有标，根据三次贝塞尔曲线的几何性质可以知道：M1 是一个很特殊的中点，它可以这样取得：取 P0-P1、P1-P2、P2-P3的中点 C0、M2、C2，连接 C0-M2 和 M2-C2，取 C0-M2 和 M2-C2 的中点 D1、D2，连接 D1-D2，取 D1-D2 的中点就是 M1,M1 是在贝塞尔曲线上的，也就是在圆弧上的。

        接下来我们做两条辅助线，过 P1 作 P0-P2 的垂线，垂足为 F0，延长 0-M2 和 P0-P1 交于 F1。

二、推算

        其实我觉得把图画好就成功一半了，所以画图真的很重要：）

        接下来给出已知量，已知圆的半径 r ， P0 和 P2 的坐标。求 P1 和 P2 的坐标。

2.1 推算 P0-P1 的长度     

       1. 假设 P0-P1 的长度为 l（小写的L 不是 1），M0-M2 的长度为 d，∠P0-O-P1 的角度为 θ。

        2.首先可以证明出 ∠O-P0-P1 和 ∠O-P3-P2 是直角，这里省略。（大致过程应该可以通过求出贝塞尔曲线的切线，然后得出在 t = 0 和 t = 1 是两个控制点 P1、P2 是在切线上的，结合圆的切线垂直于圆点到圆心的连线）

        3. 推算出线段 M2-M1 的长度是 M1-M0 的 1/4，同时 M1-M0 是 M2-M0 的 3/4。（这个步骤相对简单，根据贝塞尔曲线的 M1 点由来（多次取中点）可以证明）

        5. (线段长度M0-M1) = r - (线段长度O-M0)，O-M0的长度 = r*cos(θ/2)，θ为 ∠P0-O-P1 的角度。结合 M0-M1 是 M0-M2 的 3/4，如果 M0-M2 的长度为 d。那么

           d*3/4 = r - r*cos(θ/2)  （方程 1）

       6. 由于 ∠P0-M0-O 和 ∠P1-P0-O 都是直接，那么可以很快证明出 ∠P1-P0-F0 = ∠P0-O-M0 = θ/2，进而得出 P1-F0 的长度等于 l*sin(θ/2)，l 的长度是 P0-P1 的长度。之后可以得出 M0-M2 的长度是等于 P1-F0 的长度的，也就是

           d = l*sin((θ/2)) (方程 2)

       7. 联合 方程1 和 方程2 ，可以求出 l ，也就是 P0-P1 的长度

            l = (4/3)*((1-cos(θ/2))/sin(θ/2))*r