数学工具(2)——Fourier分析

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1 背景知识：

为了求出系数 $a_n$ 和 $b_n$ ,需要用到下列公式
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (mx)\cos (nx)dx,m,n=0,1\dots \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (mx)\sin (nx)dx=\{\begin{array}{l}0m\ne n\\ \pi m=n\end{array}\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cos (nx)dx=\{\begin{array}{l}0m\ne n\\ \pi m=n\end{array}\end{array}$$

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2 Fourier级数的复指数形式

因为：
$$\begin{array}{rl}& \cos (w_{n}t)=\frac{1}{2}(e^{-i{w}_{n}t}+e^{i{w}_{n}t})\\ & \sin (w_{n}t)=\frac{i}{2}(e^{-i{w}_{n}t}-e^{i{w}_{n}t})\end{array}$$
于是就有
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i w n t c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i