转：整数拆分问题的四种解法

最新推荐文章于 2022-05-29 00:17:11 发布

jiangrongjr

最新推荐文章于 2022-05-29 00:17:11 发布

阅读量1.4k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u011889952/article/details/44813593

本文深入探讨了整数拆分问题的四种解决方法，包括递归法、动态规划、母函数及五边形数定理。通过对比不同算法的效率，展示了动态规划在处理大规模数据时的优势。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原帖：https://blog.youkuaiyun.com/u011889952/article/details/44813593

遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议

整数拆分问题的四种解法

2015年04月01日 21:17:09 尼奥普兰阅读数 42416收起

分类专栏： ACM 算法导论（算法实现c/c++版）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u011889952/article/details/44813593

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

方法一：递归法

根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

（2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

（3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；
划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

（4）当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；

（5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；
划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

其递归表达式如下所示。

参考源码1.1（递归版本（较慢））

#include <stdio.h>
#define MAXNUM 100 //最高次数
//递归法求解整数划分
unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
{
if(n == 1 || max == 1)
{
return 1;
}
if(n < max)
{
return GetPartitionCount(n, n);
}
if(n == max)
{
return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
}
else
{
return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
}
}
int main(int argc, char **argv)
{
int n;
int m;
unsigned long count;
while(1)
{
scanf("%d", &n);
if(n<=0)
return 0;
m=n;
count = GetPartitionCount(n, m);
printf("%d\n",count);
}
return 0;
}

方法二：动态规划

考虑到使用递归中，很多的子递归重复计算，这样不仅在时间开销特别大，这也是运算太慢的原因，比如算120的时候需要3秒中，计算130的时候需要27秒钟，在计算机200的时候....计算10分钟还没计算出来。。。鉴于此，可以使用动态规划的思想进行程序设计，原理如同上面一样，分成三种情况，只是使用一个数组来代替原有的递归，具体可以参看源码，源码中提供了两个版本递归+记录版本和数组版本

2.1 递归加记录版本

此版本使用数组标记，如果之前计算过，则直接调用数组中内容，否则计算子递归，这样保证了每次计算一次，减少冗余量

源码如下：

/*----------------------------------------------
* Author :NEWPLAN
* Date :2015-04-01
* Email :xxxxxxx
* Copyright:NEWPLAN
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
#define MAXNUM 100 //最高次数
unsigned long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];
unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);
using namespace std;
int main(int argc, char **argv)
{
int n;
int m;
unsigned long count;
while(1)
{
cin>>n;
cout<<dynamic_GetPartitionCount(n,n)<<endl;
}
return 0;
}
unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max)
{
if(n == 1 || max == 1)
{
ww[n][max]=1;
return 1;
}
if(n < max)
{
ww[n][n]=ww[n][n]? ww[n][n] : dynamic_GetPartitionCount(n, n);
return ww[n][n];
}
if(n == max)
{
ww[n][max]=ww[n][n-1]?1+ww[n][n-1]:1 + dynamic_GetPartitionCount(n, n - 1);
return ww[n][max];
}
else
{
ww[n][max]=ww[n - max][max]? (ww[n - max][max]) : dynamic_GetPartitionCount(n - max, max);
ww[n][max]+=ww[n][max-1]? (ww[n][max-1]): dynamic_GetPartitionCount(n, max - 1);
return ww[n][max];
}
}

2.2 数组标记法动态规划（从小到大）

考虑到计算ww[10][10]=ww[10][9]+1;所以在每次计算中都是用到之前的记录，这样就可以先从小到大计算出程序，使得计算较大数的时候调用已经计算出的较小的记录，程序直接是用循环就可以完成任务，避免了重复计算和空间栈的开销。

源码：

/*----------------------------------------------
* Author :NEWPLAN
* Date :2015-04-01
* Email :xxxxxxx
* Copyright:NEWPLAN
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
#define MAXNUM 100 //最高次数
unsigned long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];
unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);
using namespace std;
int main(int argc, char **argv)
{
int n;
int m;
unsigned long count;
while(1)
{
cin>>n;
cout<<dynamic_GetPartitionCount(n,n)<<endl;
}
return 0;
}
unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
{
if(j==1|| i==1)
{
ww[i][j]=1;
}
else
{
if(j==i)
ww[i][j]=ww[i][j-1]+1;
else if((i-j)<j)
ww[i][j]=ww[i-j][i-j]+ww[i][j-1];
else
ww[i][j]=ww[i-j][j]+ww[i][j-1];
}
}
return ww[n][max];
}

三种方法效果对比十分明显，在写此博客之前测试数据200，动态规划版本输入直接算出结果，现在这片博客写完了，，，使用递归的还没计算出结果。。。

方法三：母函数

下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

= g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

= a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n) = an。

由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

参考题目： HDU:1028：Ignatius and the Princess III

参考源码：