题目：
- 数列 f f f 满足 f 0 = 0 , f 1 = 1 f_0=0,f_1=1 f0=0,f1=1，且对于 n ≥ 2 n≥2 n≥2 有 f n = 2 ∗ f n − 1 + f n − 2 f_n=2*f_{n−1}+f_{n−2} fn=2∗fn−1+fn−2。求 { f n f_n fn} 的通项公式。
解决：
tip：生成函数太长，直接改成特征方程了。
假设数列的解为
f
n
=
r
n
f_n = r^n
fn=rn，代入递推关系中得到：
r
n
=
2
r
n
−
1
+
r
n
−
2
.
r^n = 2r^{n-1} + r^{n-2}.
rn=2rn−1+rn−2.
两边同除以 r n − 2 r^{n-2} rn−2（假设 r ≠ 0 r \neq 0 r=0），得到特征方程：
r 2 = 2 r + 1 , r^2 = 2r + 1, r2=2r+1,
整理得到：
r 2 − 2 r − 1 = 0. r^2 - 2r - 1 = 0. r2−2r−1=0.
解这个二次方程：
r
=
−
(
−
2
)
±
(
−
2
)
2
−
4
(
1
)
(
−
1
)
2
(
1
)
=
2
±
4
+
4
2
=
2
±
8
2
=
2
±
2
2
2
.
r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}.
r=2(1)−(−2)±(−2)2−4(1)(−1)=22±4+4=22±8=22±22.
所以，特征根为： r = 1 + 2 或 r = 1 − 2 . r = 1 + \sqrt{2} \quad \text{或} \quad r = 1 - \sqrt{2}. r=1+2或r=1−2.
根据特征方程的解，数列的通解是：
f
n
=
A
(
1
+
2
)
n
+
B
(
1
−
2
)
n
,
f_n = A(1 + \sqrt{2})^n + B(1 - \sqrt{2})^n,
fn=A(1+2)n+B(1−2)n,
其中 A A A 和 B B B 是常数，下面来求解它们。
使用初始条件 f 0 = 0 f_0 = 0 f0=0 和 f 1 = 1 f_1 = 1 f1=1 来求 A A A 和 B B B。
由 f 0 = 0 f_0 = 0 f0=0： A ( 1 + 2 ) 0 + B ( 1 − 2 ) 0 = A + B = 0 , \hspace{4.0cm}A(1 + \sqrt{2})^0 + B(1 - \sqrt{2})^0 = A + B = 0, A(1+2)0+B(1−2)0=A+B=0,
由 f 1 = 1 f_1 = 1 f1=1： A ( 1 + 2 ) 1 + B ( 1 − 2 ) 1 = A ( 1 + 2 ) + B ( 1 − 2 ) . \hspace{4.0cm}A(1 + \sqrt{2})^1 + B(1 - \sqrt{2})^1 = A(1 + \sqrt{2}) + B(1 - \sqrt{2}). A(1+2)1+B(1−2)1=A(1+2)+B(1−2).
得：
A
=
1
2
2
,
B
=
−
1
2
2
.
A = \frac{1}{2\sqrt{2}}, \quad B = -\frac{1}{2\sqrt{2}}.
A=221,B=−221.
故数列 $ f_n $ 的通项公式是：
f n = 1 2 2 [ ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n ] . f_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left[ (1 + \sqrt{2})^n - (1 - \sqrt{2})^n \right]. fn=221[(1+2)n−(1−2)n].
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