【算法】【前缀和】算法详解及实现（python、go、java）

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前缀和是一种常用的算法技术，常用于解决区间求和问题。它通过计算数组的前缀和，使得后续的区间求和操作变得更加高效。前缀和的核心思想是将原数组中的元素累加起来，从而在求某个区间和时，只需要通过简单的减法即可快速得到结果。

一、前缀和的基本概念

给定一个数组 nums，前缀和数组 prefix_sum 定义为：

prefix_sum[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i]

通过前缀和，我们可以在 O(1) 的时间复杂度内计算任意区间 [i, j] 的和：

sum(i, j) = prefix_sum[j] - prefix_sum[i - 1]（注意处理边界情况）

二、前缀和的应用场景

快速计算数组的任意子数组和
处理与区间相关的查询问题
解决动态更新的问题

三、代码实现

我们将通过一个例子来演示如何使用前缀和来解决子数组和的问题。在这个例子中，我们将实现一个功能来计算给定区间内的和。

1. Python 实现

问题描述：给定一个整数数组 nums 和两个整数 left 和 right，求出 nums[left] 到 nums[right] 的和。

def calculate_prefix_sum(nums):
    # 初始化前缀和数组，长度为 len(nums) + 1
    prefix_sum = [0] * (len(nums) + 1)
    
    # 计算前缀和
    for i in range(len(nums)):
        prefix_sum[i + 1] = prefix_sum[i] + nums[i]
    
    return prefix_sum

def range_sum(prefix_sum, left, right):
    # 计算区间和
    return prefix_sum[right + 1] - prefix_sum[left]

# 示例
nums = [1, 2, 3, 4, 5]
prefix_sum = calculate_prefix_sum(nums)
left, right = 1, 3  # 计算从索引 1 到 3 的和
result = range_sum(prefix_sum, left, right)
print(f"区间和: {result}")  # 输出: 区间和: 9

calculate_prefix_sum 函数计算并返回前缀和数组。
range_sum 函数通过前缀和数组快速计算区间和。

2. Go 实现

问题描述：同样的，给定一个整数数组 nums 和两个整数 left 和 right，求出 nums[left] 到 nums[right] 的和。

package main

import (
    "fmt"
)

func calculatePrefixSum(nums []int) []int {
    // 初始化前缀和数组
    prefixSum := make([]int, len(nums)+1)

    // 计算前缀和
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        prefixSum[i+1] = prefixSum[i] + nums[i]
    }

    return prefixSum
}

func rangeSum(prefixSum []int, left int, right int) int {
    // 计算区间和
    return prefixSum[right+1] - prefixSum[left]
}

func main() {
    nums := []int{1, 2, 3, 4, 5}
    prefixSum := calculatePrefixSum(nums)
    left, right := 1, 3  // 计算从索引 1 到 3 的和
    result := rangeSum(prefixSum, left, right)
    fmt.Printf("区间和: %d\n", result)  // 输出: 区间和: 9
}

calculatePrefixSum 函数创建前缀和数组并进行填充。
rangeSum 函数利用前缀和数组计算指定区间的和。

3. Java 实现

问题描述：给定一个整数数组 nums 和两个整数 left 和 right，求出 nums[left] 到 nums[right] 的和。

import java.util.Arrays;

public class PrefixSum {
    public static int[] calculatePrefixSum(int[] nums) {
        // 初始化前缀和数组
        int[] prefixSum = new int[nums.length + 1];

        // 计算前缀和
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            prefixSum[i + 1] = prefixSum[i] + nums[i];
        }

        return prefixSum;
    }

    public static int rangeSum(int[] prefixSum, int left, int right) {
        // 计算区间和
        return prefixSum[right + 1] - prefixSum[left];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {1, 2, 3, 4, 5};
        int[] prefixSum = calculatePrefixSum(nums);
        int left = 1, right = 3;  // 计算从索引 1 到 3 的和
        int result = rangeSum(prefixSum, left, right);
        System.out.println("区间和: " + result);  // 输出: 区间和: 9
    }
}