最大子段和——分治与动态规划

最大子段和——分治与动态规划

问题：

  给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为：
  
    Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
    例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。
      

 问题求解：

/* 简单算法:
**v[0]不保存数据
**T(n)=O(n^2).
*/
int  MaxSum( int   * v, int  n, int   * besti, int   * bestj)
{
     int  sum = 0 ;
     int  i,j;
     for  (i = 1 ;i <= n;i ++ )
    {
         int  thissum = 0 ;
         for  (j = i;j <= n;j ++ )
        {
            thissum += v[j];
             if  (thissum > sum)
            {
                sum = thissum;
                 * besti = i;
                 * bestj = j;
            }
        }
    }
     return  sum;
}
/* 分治法:
**将a[1n]分成a[1n/2]和a[n/2+1n],则a[1n]的最大字段和有三种情况:
**(1)a[1n]的最大子段和与a[1n/2]的最大子段和相同
**(2)a[1n]的最大子段和与a[n/2n]的最大子段和相同
**(3)a[1n]的最大子段和为ai++aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n
**T(n)=2T(n/2)+O(n)
**T(n)=O(nlogn)
*/
int  MaxSum_DIV( int   * v, int  l, int  r)
{
     int  k,sum = 0 ;
     if (l == r)
         return  v[l] >= 0 ? v[l]: 0 ;
     else
    {
         int  center = (l + r) / 2 ;
         int  lsum = MaxSum_DIV(v,l,center);
         int  rsum = MaxSum_DIV(v,center + 1 ,r);

         int  s1 = 0 ;
         int  lefts = 0 ;
         for  (k = center;k >= l;k -- )
        {
            lefts += v[k];
             if (lefts > s1)
                s1 = lefts;
        }

         int  s2 = 0 ;
         int  rights = 0 ;
         for  (k = center + 1 ;k <= r;k ++ )
        {
            rights += v[k];
             if (rights > s2)
                s2 = rights;
        }
        sum = s1 + s2;
         if (sum < lsum)
            sum = lsum;
         if (sum < rsum)
            sum = rsum;
    }
     return  sum;
}
/* 动态规划算法:
**b[j]=max{a[i]++a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
**由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
**b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。
**T(n)=O(n)
*/
int  MaxSum_DYN( int   * v, int  n)
{
     int  sum = 0 ,b = 0 ;
     int  i;
     for  (i = 1 ;i <= n;i ++ )
    {
         if (b > 0 )
            b += v[i];
         else
            b = v[i];
         if (b > sum)
            sum = b;
    }
     return  sum;
}

本人代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int a[8] = {1,2,3,4,5,6,7,8};//{-1, 2, -4, 3, 5, -9, 10, -1};
    int max = 0;
    int sum = 0;
    for(int i=0; i<8; i++)
    {
       sum = sum + a[i];
       if(sum <= 0)
         sum = 0;

       if(max < sum)
         max = sum;
    }
    printf("max = %d\n", max);
}